Jørgensen-Ungleichung

In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$. Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.

Ungleichung

Es sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine von zwei Matrizen ${\displaystyle f,g\in PSL(2,\mathbb {C} )}$ erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert \geq 1}$,

wobei ${\displaystyle Sp(.)}$ die Spur einer Matrix und ${\displaystyle \left[.,.\right]}$ den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.

Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.

Gleichheit

Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen ${\displaystyle f,g}$ mit ${\displaystyle \vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1}$ erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.^[1]

Die einzigen diskreten Untergruppen von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$, die von 2 Elementen ${\displaystyle f,g}$ mit ${\displaystyle \vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert =1}$ erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur ${\displaystyle (2,3,q)}$ mit ${\displaystyle 7\leq q\leq \infty }$.^[2]

Weiterhin gibt es zu jedem ${\displaystyle r\geq 1}$ eine diskrete Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset PSL(2,\mathbb {C} )}$ mit ${\displaystyle inf_{f,g\colon \langle f,g\rangle =\Gamma }\left\{\vert Sp(f)^{2}-4\vert +\vert Sp(\left[f,g\right])-2\vert \right\}=r}$.^[3]

Anwendungen

• Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet.
• Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle (\phi _{n})_{n}}$ eine Folge von Isomorphismen von ${\displaystyle \Gamma }$, die gegen einen Homomorphismus ${\displaystyle \phi :\Gamma \rightarrow PSL(2,\mathbb {C} )}$ konvergiert, dann ist ${\displaystyle \phi (\Gamma )}$ eine Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle \phi }$ ist ein Isomorphismus.
• Falls ${\displaystyle f}$ parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären.
• Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.

Literatur

• Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2)

Einzelnachweise

1. ↑ Callahan: Jørgensen number and arithmeticity. Conform. Geom. Dyn., 13 (2009), 160–186.
2. ↑ T. Jørgensen, M. Kiikka: Some extreme discrete groups. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1(2):245–248, 1975.
3. ↑ Y. Yamashita, R. Yamazaki: The realization problem for Jørgensen numbers. Conform. Geom. Dyn., 23 (2019), 17–31.