Jørgensen-Ungleichung

In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes . Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.

Ungleichung

Es sei eine von zwei Matrizen erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung

,

wobei die Spur einer Matrix und den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.

Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.

Gleichheit

Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen mit erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.[1]

Die einzigen diskreten Untergruppen von , die von 2 Elementen mit erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur mit .[2]

Weiterhin gibt es zu jedem eine diskrete Gruppe mit .[3]

Anwendungen

  • Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet.
  • Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und eine Folge von Isomorphismen von , die gegen einen Homomorphismus konvergiert, dann ist eine Kleinsche Gruppe und ist ein Isomorphismus.
  • Falls parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären.
  • Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.

Literatur

  • Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf
  • Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2)

Einzelnachweise

  1. Callahan: Jørgensen number and arithmeticity. Conform. Geom. Dyn., 13 (2009), 160–186.
  2. T. Jørgensen, M. Kiikka: Some extreme discrete groups. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1(2):245–248, 1975.
  3. Y. Yamashita, R. Yamazaki: The realization problem for Jørgensen numbers. Conform. Geom. Dyn., 23 (2019), 17–31.