Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$ von Abelschen Varietäten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ eine Isogenie, wenn ${\displaystyle \phi }$ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$, so heißen die Abelschen Varietäten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ isogen. Speziell sind Isogenien "rationale" Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.^[1]

Definition

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus ${\displaystyle \phi \colon A\rightarrow B}$ äquivalent^[2]:

• ${\displaystyle \phi }$ ist eine Isogenie, das heißt ${\displaystyle \phi }$ ist surjektiv und der Kern von ${\displaystyle \phi }$ ist endlich.
• ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ besitzen die gleiche Dimension und ${\displaystyle \phi }$ ist surjektiv.
• ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ besitzen die gleiche Dimension und der Kern von ${\displaystyle \phi }$ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

1. ↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.
2. ↑ James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur

• Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch). 
• David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).