Involut-Funktion

Die Involut-Funktion wird zur Berechnung bei Evolventenverzahnungen verwendet. Die Involut-Funktion ist definiert als:

${\displaystyle \operatorname {inv} (\alpha )=\tan(\alpha )-\alpha \quad {\text{mit}}\quad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

Beispiel:

${\displaystyle \operatorname {inv} (20^{\circ })=\tan(20^{\circ })-{\frac {20^{\circ }\cdot \pi }{180^{\circ }}}=\tan(20^{\circ })-{\frac {\pi }{9}}=0{,}014904384\ldots =\operatorname {inv} \left({\frac {\pi }{9}}\right)}$

Siehe auch Evolvente.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Involut-Funktion sei im Folgenden mit ${\displaystyle \operatorname {inv} ^{-1}}$ bezeichnet. Sie ist eine auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definierte, analytische Funktion, die streng monoton wachsend ist und deren Funktionsgraph punkt­symmetrisch zu (0,0) ist und betragsmäßig durch ${\displaystyle \pi /2}$ beschränkt ist (also ähnlich der reellen Arcustangensfunktion). Die Werte dieser Umkehrfunktion der Involut-Funktion kann man effizient iterativ bestimmen. Aus der Reihenentwicklung der Involut-Funktion

${\displaystyle \operatorname {inv} (\alpha )=\tan(\alpha )-\alpha ={\frac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\frac {2}{15}}\alpha ^{5}+{\frac {17}{315}}\alpha ^{7}+\dots }$

lässt sich ableiten, dass für die inverse Involut-Funktion

${\displaystyle \alpha =\operatorname {inv} ^{-1}(\tan(\alpha )-\alpha )={\sqrt[{3}]{3\ \operatorname {inv} (\alpha )}}-{\frac {2}{5}}\operatorname {inv} (\alpha )+\Theta \left(\operatorname {inv} (\alpha )^{\frac {5}{3}}\right)\approx {\sqrt[{3}]{3\ \operatorname {inv} (\alpha )}}-{\frac {2}{5}}\operatorname {inv} (\alpha )}$

eine akzeptable Näherung ist, falls ${\displaystyle |\operatorname {inv} (\alpha )|}$ genügend klein ist. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens lässt sich dieser Näherungswert für ${\displaystyle \alpha }$ weiter verbessern:

${\displaystyle \alpha _{i+1}=\alpha _{i}+{\frac {\operatorname {inv} (\alpha )-\tan(\alpha _{i})+\alpha _{i}}{\tan(\alpha _{i})^{2}}}\quad {\text{und}}\quad \alpha _{0}={\sqrt[{3}]{3\ \operatorname {inv} (\alpha )}}-{\frac {2}{5}}\operatorname {inv} (\alpha )}$

Ist ${\displaystyle |\operatorname {inv} (\alpha )|>2}$, sollte man als Startwert ${\displaystyle \alpha _{0}=\arctan(\operatorname {inv} (\alpha ))}$ wählen, damit obiges Newton-Verfahren auch konvergiert.