Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom ${\displaystyle P}$ auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}$ invariant ist, also

${\displaystyle P(gx)=P(x)}$

für alle ${\displaystyle g\in G,x\in V}$ erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ein Körper und ${\displaystyle V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}$ der Vektorraum aller ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )}$ wirkt auf ${\displaystyle V}$ durch Konjugation:

${\displaystyle gx:=gxg^{-1}}$ für ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}$.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen ${\displaystyle P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$ mit ${\displaystyle P(gxg^{-1})=P(x)}$ für alle ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}$.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable ${\displaystyle t}$) die Entwicklung

${\displaystyle \det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}}$

betrachten und erhält invariante Polynome ${\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}}$. (${\displaystyle c_{1}}$ ist die Spur und ${\displaystyle c_{n}}$ die Determinante. Falls ${\displaystyle \mathbb {K} }$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein ${\displaystyle c_{k}}$ das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von ${\displaystyle A}$.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt auf sich selbst durch Konjugation: ${\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}}$ für alle ${\displaystyle h\in G}$. Das Differential von ${\displaystyle c_{g}}$ ist eine lineare Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe ${\displaystyle G}$ auf dem Vektorraum ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

${\displaystyle P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ für alle ${\displaystyle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}}$

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit ${\displaystyle I^{*}({\mathfrak {g}})}$ bezeichnet.

Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}}$ für ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}$. Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}$ das homogene Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$, dessen Wert auf ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}$ man als Koeffizienten vom Grad ${\displaystyle n-k}$ im Polynom

${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}$

erhält, für alle ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}$. (Die Werte für die ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}$ legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}$ heißt das ${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))}$ erzeugt.

Beispiel G=O(n)

Für ${\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(n)}$ gilt ${\displaystyle A=-A^{T}}$, woraus zunächst ${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)}$ und damit dann ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}=0}$ für alle ungeraden ${\displaystyle k}$ folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))}$ erzeugt.

Beispiel G=SO(n)

Falls ${\displaystyle n=2m}$ gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ mit ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ definiert ist durch

${\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}$.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen ${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))}$ und – falls ${\displaystyle n}$ gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante ${\displaystyle Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))}$ erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ sei ${\displaystyle C_{\frac {k}{2}}}$ das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$, dessen Wert auf ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}$ man als Koeffizienten vom Grad ${\displaystyle n-k}$ im Polynom

${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}$

erhält, für alle ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}$. Das Polynom ${\displaystyle C_{k}}$ heißt das ${\displaystyle k}$-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung ${\displaystyle i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)}$ zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))}$ erzeugt.

Beispiel G=U(n)

Für ${\displaystyle A\in {\mathfrak {u}}(n)}$ ist ${\displaystyle A=-A^{H}}$ und damit ${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},}$ deshalb sind die Chern-Polynome auf ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))}$ erzeugt.

Literatur

• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3