Interpolationssatz von Katětov

Der Interpolationssatz von Katětov (englisch Katětov's interpolation theorem) ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Topologie zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den tschechischen Mathematiker Miroslav Katětov und gibt eine Verallgemeinerung des bekannten Fortsetzungssatzes von Tietze.^[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:^[1]

Gegeben sei ein normaler topologischer Raum ${\displaystyle X}$.^[2]

Seien weiter gegeben zwei halbstetige reellwertige Funktionen ${\displaystyle g,h\colon X\to \mathbb {R} }$ und es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle g}$ oberhalbstetig sei, dass ${\displaystyle h}$ unterhalbstetig sei und dass dabei stets die Ungleichung ${\displaystyle g(x)\leq h(x)\;\;(x\in X)}$ bestehe.^[3]

Dann existiert eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$, welche ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ interpoliert,

für welche also punktweise die Ungleichung

${\displaystyle g\leq f\leq h}$

besteht.

Anmerkungen

• Der Interpolationssatz von Katětov zieht den tietzeschen Fortsetzungssatz als Folgerung nach sich. Dazu zeigt man den Fortsetzungssatz mit Hilfe des Interpolationssatzes zunächst für stetige Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes in das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ abbilden. Daran anschließend gewinnt man – mit bekannten Methoden – den Fortsetzungssatz für alle stetigen Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder (noch allgemeiner) in einen aus reellen Intervallen bestehenden Produktraum abbilden.^[4][5][6]
• In seiner Arbeit aus dem Jahre 1951 war Katětov bei der Herleitung seines Interpolationssatzes ein Fehler unterlaufen, welcher von Hing Tong mit dessen Arbeit aus dem Jahre 1952 bereinigt wurde. In der englischsprachigen Literatur wird der Interpolationssatz daher oft beiden genannten Autoren zugerechnet und dann – etwa von Tomasz Kubiak (s. u.) – als Katětov-Tong insertion theorem bezeichnet.
• Der Interpolationssatz lässt sich auch mit Hilfe des Lemmas von Urysohn herleiten.^[1] Da das Lemma von Urysohn und der Tietzesche Fortsetzungssatz im Wesentlichen gleichwertig sind und da der Interpolationssatz den Fortsetzungssatz – wie gesehen – nach sich zieht, erweisen sich alle drei Lehrsätze damit sogar als gleichwertig. Wie sich (nicht zuletzt anhand der genannten Arbeiten) zeigt, bedeuten diese im Kern, dass ein normaler Raum stets die in den drei Lehrsätzen behaupteten funktionalen Eigenschaften besitzt und dass ihn diese charakterisieren.^[7]

Literatur

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2 (MR0463890). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Tomasz Kubiak: A stengthening of the Katětov-Tong insertion theorem. In: Comment. Math. Univ. Carolin. Band 34, 1993, S. 357–362 (ams.org).  MR1241744
• M. Katětov: On real-valued functions in topological spaces. In: Fund. Math. Band 38, 1951, S. 85–91 (MR0050264). 
• Hing Tong: Some characterizations of normal and perfectly normal spaces. In: Duke Math. J. Band 19, 1952, S. 289–292 (MR0050265). 

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b c} G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. 1974, S. 120–123.
2. ↑ ${\displaystyle X}$ ist also ein topologischer Raum, in dem je zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen durch disjunkte offene Umgebungen getrennt werden.
3. ↑ Man sagt in Bezug auf die letztgenannte Voraussetzung, dass die Ungleichung punktweise oder elementweise bestehe.
4. ↑ Jameson, op. cit., S. 113–115, 123.
5. ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 78 ff.
6. ↑ Diese allgemeine Fassung des Fortsetzungssatzes nennt man auch den Satz von Tietze-Urysohn.
7. ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 76–83.