Interaktives Beweissystem

Ein interaktives Beweissystem ist ein Begriff aus der Komplexitätstheorie. Dabei wird eine abstrakte Maschine, in welcher die Informationsverarbeitung durch den Austausch von Nachrichten realisiert ist, beschrieben. Ein interaktives Beweissystem muss die Completeness und Soundnessbedingung erfüllen.^[1]

Sie wurden 1985 von Shafi Goldwasser, Charles Rackoff und Silvio Micali eingeführt (wobei Preprints bis auf 1982 zurückgingen) und unabhängig von László Babai 1985, der darüber später ausführlich mit Shlomo Moran veröffentlichte^[2]. Die Autoren erhielten dafür den ersten Gödel-Preis 1993.

Formal

Ein interaktives Beweissystem (IBS) ist ein Protokoll ${\displaystyle (P,V)}$ zwischen einem Beweisführer (Prover) und einem Prüfer (Verifier). Dabei ist ${\displaystyle P}$ eine PSPACE-Maschine und ${\displaystyle V}$ eine probabilistische Turingmaschine mit polynomieller Zeitschranke. Beweisführer und Prüfer erhalten die gleiche Eingabe ${\displaystyle x,|x|=n,}$ auf einem read-only Band. Das Protokoll umfasst polynomiell viele ${\displaystyle p(n)}$ Runden in denen nur polynomiell viele Nachrichten ausgetauscht werden dürfen.^[3] ${\displaystyle (P,V)=(p_{1},v_{1},p_{2},v_{2},...,p_{p(n)},v_{p(n)})}$ in der letzten Runde akzeptiert oder verwirft dann der Prüfer (ja/nein bzw. 1/0).

Ein ${\displaystyle \mathrm {IBS} (P,V)}$ entscheidet eine Sprache ${\displaystyle L\subseteq \Sigma ^{*}}$, falls für alle Eingaben ${\displaystyle x\in \Sigma ^{*}}$ gilt:

1. Ist ${\displaystyle x\in L}$ so akzeptiert der Prüfer mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(x\in L)\leq (1-2^{-n})}$
2. Ist ${\displaystyle x\notin L}$ so gibt es kein ${\displaystyle \mathrm {IBS} (P,V)}$, das den Prüfer mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(x\in L)>2^{-n}}$ akzeptieren lässt.^[1]

Beispiel

Eingabe: Zwei Graphen ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$

1. Arthur beginnt: Er wählt per Zufall einen der beiden Graphen (${\displaystyle G_{1}}$ oder ${\displaystyle G_{2}}$) aus und permutiert die Benennung der Knoten zu einem neuen, isomorphen Graph ${\displaystyle H}$. Diesen Graphen übermittelt er Merlin.
2. Merlin rechnet die Permutationen von ${\displaystyle H}$ zurück und kann somit entscheiden, ob Arthur ursprünglich Graph ${\displaystyle G_{1}}$ oder ${\displaystyle G_{2}}$ ausgewählt hat. Merlin sendet daraufhin die Nummer des Graphen (1,2) an Arthur.
3. Arthur akzeptiert, wenn Merlin die richtige Zahl übermittelt.

Es ist bekanntermaßen schwierig herauszufinden, ob zwei Graphen isomorph sind (siehe Isomorphie von Graphen). Wenn ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ isomorph sind, so kann Merlin nicht entscheiden, welchen Ursprung ${\displaystyle H}$ hat.

Grundidee

Der Beweisführer Merlin möchte dem Prüfer König Arthur eine Aussage beweisen. Arthur ist aber hinsichtlich seiner Aufnahmefähigkeit beschränkt und kann deswegen Merlins Beweis im Ganzen nicht folgen. Deswegen versucht Merlin Arthur den Beweis in kleinen Happen zu servieren, welche Arthur für sich ausrechnen kann. Der Beweisführer (Merlin) ist eine PSPACE-Maschine, der Prüfer (Arthur) ist P-beschränkt. Das Beispiel wurde von László Babai zuerst beschrieben^[4].

Komplexitätsklasse

Für die Komplexitätsklasse IP, die alle Entscheidungsprobleme enthält, die ein interaktives Beweissystem besitzen, gilt: IP = PSPACE

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung ist MIP, Multiprover Interactive Proof System, mit mehr als einem Beweiser.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Fourer et al. On Completeness and Soundness in Interactive Proof Systems On Completeness and Soundness in Interactive Proof Systems Advances in Computing Research 1989
2. ↑ Babai, Moran: Arthur-Merlin games: a randomized proof system, and a hierarchy of complexity classes, Journal of Computer and System Sciences, Band 36, 1988, Seite 254–276
3. ↑ Shafi Goldwasser, Silvio Micali, Charles Rackoff The knowledge complexity of interactive proof systemsThe knowledge complexity of interactive proof systems SIAM Journal on Computing. 1989
4. ↑ László Babai. Trading group theory for randomness. Proceedings of the Seventeenth Annual Symposium on the Theory of Computing, ACM. 1985.