Hypotenuse

Ein rechtwinkliges Dreieck und seine Hypotenuse

In der Geometrie ist Hypotenuse die Seite gegenüber dem rechten Winkel eines Dreiecks. Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks kann mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden, der besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten ist. Wenn zum Beispiel eine der Katheten eine Länge von 3 cm (im Quadrat 9 cm²) und die andere eine Länge von 4 cm (im Quadrat 16 cm²) hat, addieren sich ihre Quadrate zu 25 cm². Die Länge der Hypotenuse ist die Quadratwurzel von 25 cm², das sind 5 cm.

Etymologie

Das Wort Hypotenuse stammt aus dem Griechischen ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσαhē tḕn orthḕn gōnían hypoteínousa (sc. γραμμήgrammḗ or πλευράpleurá), dies bedeutet „Seite gegenüber dem rechten Winkel“ (Apollodorus). Das nominalisierte Partizip, ἡ ὑποτείνουσαhē hypoteínousa, wurde bis in das vierte Jahrhundert v. Chr. für die Hypotenuse des Dreiecks verwendet (belegt in Plato, Timaios 54d). Der griechische Begriff wurde in der Form hypotēnūsa ins Spätlateinische entlehnt. Die Schreibweise mit angehängtem -e als Hypotenuse ist französischen Ursprungs (Estienne de La Roche 1520).

Berechnung

Ein rechtwinkliges Dreieck

Mit Hilfe von zwei vorgegebenen Längen oder einer Länge und einem spitzen Winkel kann die Länge der Hypotenuse berechnet werden.

Zwei Katheten

Nennt man bei einem rechtwinkligen Dreieck wie üblich die Länge der Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und die Längen der Katheten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, so gilt nach dem Satz des Pythagoras:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Löst man das nach ${\displaystyle c}$ auf, so erhält man (unter der Bedingung ${\displaystyle c\geq 0}$) die Formel

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

mit der man die Länge der Hypotenuse berechnen kann.

Kathete und Höhe

Die Höhe ${\displaystyle h}$ teilt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teildreiecke. Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse ${\displaystyle c}$ in die Hypotenusenabschnitte ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$. Nach dem Satz des Pythagoras gilt ${\displaystyle h^{2}+p^{2}=a^{2}}$, also ${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}-h^{2}}}}$. Das rechtwinklige Dreieck ist ähnlich zu seinen Teildreiecken, weil die drei Innenwinkel gleich sind. Deshalb stimmen entsprechende Seitenverhältnisse überein und es gilt ${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{p}}}$, also

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{p}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-h^{2}}}}}$

und ebenso

${\displaystyle c={\frac {b^{2}}{q}}={\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-h^{2}}}}.}$

Kathete und spitzer Winkel

Nach Definition von Sinus und Kosinus gilt:

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}},\quad \cos(\alpha )={\frac {b}{c}},\quad \sin(\beta )={\frac {b}{c}},\quad \cos(\beta )={\frac {a}{c}}}$

${\displaystyle c={\frac {a}{\sin(\alpha )}},\quad c={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\quad c={\frac {b}{\sin(\beta )}},\quad c={\frac {a}{\cos(\beta )}}}$

Höhe und spitzer Winkel

Nach Definition von Tangens und Kotangens gilt für die Seiten und Winkel der Teildreiecke:

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {p}{h}},\quad \cot(\alpha )={\frac {q}{h}},\quad \tan(\beta )={\frac {q}{h}},\quad \cot(\beta )={\frac {p}{h}}}$

${\displaystyle p=h\cdot \tan(\alpha ),\quad q=h\cdot \cot(\alpha ),\quad q=h\cdot \tan(\beta ),\quad p=h\cdot \cot(\beta )}$

Daraus ergibt sich für die Länge der Hypotenuse

${\displaystyle c=p+q=h\cdot \tan(\alpha )+h\cdot \cot(\alpha )=h\cdot (\tan(\alpha )+\cot(\alpha ))}$

${\displaystyle c=p+q=h\cdot \cot(\beta )+h\cdot \tan(\beta )=h\cdot (\cot(\beta )+\tan(\beta ))}$

Viele Computersprachen unterstützen die ISO-C-Standardfunktion hypot(x, y), die den obigen Wert zurückgibt. Die Funktion ist so konzipiert, dass sie auch dann nicht fehlschlägt, wenn die einfache Berechnung nach der Formel über- oder unterlaufen kann, und ist auch oft etwas genauer.

Einige wissenschaftliche Taschenrechner bieten eine Funktion zum Konvertieren von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten. Diese gibt gleichzeitig sowohl die Länge der Hypotenuse als auch den Winkel aus, den die Hypotenuse mit der Basislinie bildet, wenn ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ gegeben sind. Der zurückgegebene Winkel wird normalerweise durch arctan2(y, x) angegeben.

Eigenschaften

Orthogonalprojektionen:

• Die Länge der Hypotenuse ist die Summe der Längen der Orthogonalprojektionen beider Katheten.

${\displaystyle c=p+q}$

• Die Höhe teilt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teildreiecke. Das rechtwinklige Dreieck ist ähnlich zu seinen Teildreiecken, weil die drei Innenwinkel gleich sind (siehe Abbildung). Deshalb gelten folgende Seitenverhältnisse:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {p}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {q}{b}}}$

• Das Quadrat der Länge einer Kathete ist das Produkt der Länge seiner Orthogonalprojektion und der Länge der Hypotenuse.

${\displaystyle a^{2}=p\cdot c}$

${\displaystyle b^{2}=q\cdot c}$

• Also ist die Länge einer Kathete das geometrische Mittel zwischen der Länge seiner Orthogonalprojektion und der Länge der Hypotenuse.

${\displaystyle a={\sqrt {p\cdot c}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {q\cdot c}}}$

Trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe trigonometrischer Funktionen kann man die Werte der beiden spitzen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Gegeben sind die Längen der Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und der Kathete ${\displaystyle b}$, für deren Verhältnis gilt:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )}$

Die trigonometrische Umkehrfunktion ist

${\displaystyle \beta =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right),}$

in der ${\displaystyle \beta }$ der Winkel gegenüber der Kathete ${\displaystyle b}$ ist. Der angrenzende Winkel der Kathete ${\displaystyle b}$ ist ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\beta .}$ Man kann die Größe des Winkels ${\displaystyle \beta }$ auch durch die Formel

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

berechnen, in der ${\displaystyle a}$ die andere Kathete darstellt.

Siehe auch

• Dreieck
• Manhattan-Metrik
• Trigonometrie
• Pythagoras

Weblinks

• Hypotenuse in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Hypotenuse. In: MathWorld (englisch).