Holomorphiegebiet

Das Holomorphiegebiet wird in der mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf jedem Holomorphiegebiet gibt es eine holomorphe Funktion, welche nicht über das Gebiet fortgesetzt werden kann.

Definition

Die Mengen in der Definition

Eine offene Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen ${\displaystyle \Omega _{1}}$ und ${\displaystyle \Omega _{2}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ gibt mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle \emptyset \neq \Omega _{1}\subset \Omega _{2}\cap \Omega }$.
2. ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ist zusammenhängend und nicht in ${\displaystyle \Omega }$ enthalten.
3. Für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion ${\displaystyle u_{2}\colon \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$, so dass ${\displaystyle u=u_{2}}$ in ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt.

Beispiele

• Einfache Beispiele sind der ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die offene Kugel oder der Polyzylinder.
• Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
• Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
• Im Fall ${\displaystyle n=1}$ ist jede offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(\mathbb {C} )}$ nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von ${\displaystyle \Omega }$, so kann man ${\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}$ nicht über ${\displaystyle \Omega }$ hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für ${\displaystyle n>1}$ falsch ist. Insbesondere ist ${\displaystyle \Delta (0,0;2,2)-{\overline {\Delta (0,0;1,1)}}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ kein Holomorphiegebiet, wobei ${\displaystyle \Delta (\ldots ;\ldots )}$ Polyzylinder bezeichne.

Literatur

• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co., Amsterdam; American Elsevier Pub. Co., New York 1973, ISBN 9780444105233.