Holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher

Der holomorphe Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher wird in der Mathematik zur Untersuchung kommutativer -Banachalgebren eingesetzt. Dieser Funktionalkalkül erlaubt die Anwendung einer holomorphen Funktion mehrerer Veränderlicher auf ein Tupel bestehend aus Elementen der Banachalgebra. Dies verallgemeinert den holomorphen Funktionalkalkül, der sich auf holomorphe Funktionen einer Veränderlichen bezieht.

Motivation

Die einfachsten holomorphen Funktionen mehrerer Veränderlicher sind Polynome mit .

Ein Einsetzen von Elementen einer -Algebra in ein solches Polynom führt zu .

Um sinnvoll definieren zu können, benötigt man zunächst ein Einselement 1 in der Banachalgebra. Ist die Menge der Polynome in Veränderlichen, so erhält man eine Abbildung . Damit diese Abbildung ein Homomorphismus wird, müssen die Elemente untereinander kommutieren, denn ist ja ein kommutativer Ring und daher muss

sein. Deshalb muss man sich auf kommutative -Banachalgebren mit Einselement beschränken. Hat man kein Einselement, so kann man eines adjungieren.

Der Kalkül

Der holomorphe Funktionalkalkül einer Veränderlichen für ein Element befasst sich mit holomorphen Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums definiert sind. In der hier betrachteten Situation liegen Elemente einer kommutativen Banachalgebra mit 1 vor und man betrachtet holomorphe Funktionen in Veränderlichen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums definiert sind. Ist der Gelfand-Raum von , so ist

eine kompakte Teilmenge des . Mit Methoden der Funktionentheorie zeigt man

  • Sei eine kommutative -Banachalgebra mit 1, und sei eine in einer Umgebung von definierte holomorphe Funktion. Dann gibt es ein Element mit
für alle

Das Element aus obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, denn es kann durchaus verschiedene Elemente in geben mit für alle . Aber dann gilt für alle . Da die Kerne der Homomorphismen aus aber genau die maximalen Ideale von sind (siehe Artikel Banachalgebra), liegt im Durchschnitt aller maximalen Ideale, das heißt im Jacobson-Radikal von . Wenn also das Jacobson-Radikal ist (das heißt, wenn die Banachalgebra halbeinfach ist), so kann man auf schließen. In diesem Fall ist also das aus obigem Satz eindeutig bestimmt. Man erhält dann folgenden Satz:

  • Sei eine halbeinfache, kommutative -Banachalgebra mit 1, und sei eine offene Umgebung des gemeinsamen Spektrums . Ist die Menge aller in definierten holomorphen Funktionen, so gibt es zu jedem genau ein Element mit
für alle .

Dieses eindeutig bestimmte Element bezeichnet man mit . In der Situation obigen Satzes gilt dann weiter

  • Die Abbildung ist ein Homomorphismus, der die Einsetzung fortsetzt.

In diesem Sinne kann man Elemente halbeinfacher, kommutativer -Banachalgebren mit 1 in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums definiert sind, einsetzen.

Diese Sätze wurden unter der zusätzlichen Annahme, dass die Banachalgebra endlich erzeugt ist, von Schilow bewiesen. Der allgemeine Fall wurde dann von Arens und Calderón gezeigt; weitere Versionen finden sich im unten genannten Bourbaki-Band.

Der Schilowsche Idempotentensatz

Die bekannteste Anwendung dieser Methoden geht auf Schilow selbst zurück. Der Schilowsche Idempotentensatz macht eine Aussage über die Existenz von idempotenten Elementen in kommutativen Banachalgebren mit 1:

  • Sei eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement und der Gelfand-Raum sei eine disjunkte Vereinigung nicht-leerer kompakter Teilmengen und . Dann gibt es ein idempotentes Element mit für alle und für alle
Zur Beweisskizze des Schilowschen Idempotentensatzes

Zum Beweis, der hier nur grob angedeutet werden kann, verschafft man sich geeignete Elemente , so dass deren gemeinsames Spektrum ebenfalls eine disjunkte Vereinigung kompakter Mengen und ist. Dann gibt es disjunkte offene Umgebungen und von bzw. . Die Funktion , die auf gleich 0 und auf gleich 1 ist, ist holomorph in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums. Ist zusätzlich halbeinfach, so ist das gesuchte Element. In einem weiteren Beweisschritt befreit man sich von der zusätzlichen Voraussetzung der Halbeinfachheit.

Eine weitere wichtige Anwendung ist

  • Eine halbeinfache, kommutative -Banachalgebra hat genau dann ein Einselement, wenn der Gelfand-Raum kompakt ist.

Literatur

  • Bourbaki: Élements de mathématique, XXXII, Theories spectrales, Paris: Hermann 1967
  • Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973

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Verdeutlichung des Schilow'schen Idempotentensatzes