Hodge-Struktur

In der Mathematik ist eine Hodge-Struktur eine algebraische Struktur, die die Hodge-Zerlegung der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hodge-Strukturen haben vielfältige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie.

Eine Hodge-Zerlegung eines reellen Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine Zerlegung

${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}V^{p,q}}$

mit ${\displaystyle {\overline {V^{q,p}}}=V^{p,q}}$ für alle ${\displaystyle p,q}$.

Eine Hodge-Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge-Zerlegung.

Eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht ${\displaystyle n}$ ist eine Hodge-Struktur mit

${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}V^{p,q}.}$

Allgemein hat man für eine Hodge-Struktur eine Gewichtszerlegung

${\displaystyle V=\bigoplus _{n}V_{n}}$

mit ${\displaystyle V_{n}=\bigoplus _{p+q=n}V^{p,q}.}$

Eine ganze Hodge-Struktur (bzw. rationale Hodge-Struktur) ist ein endlich erzeugter freier ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul (bzw. ein endlich erzeugter ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum) ${\displaystyle A}$ mit einer Hodge-Zerlegung von ${\displaystyle V=A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ (bzw. ${\displaystyle V=A\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$), so dass die Gewichtszerlegung über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definiert ist.

${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ ist die ganze Hodge-Struktur mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul

${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} \subset \mathbb {C} }$

und ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}}$. Sie ist die einzige 1-dimensionale Hodge-Struktur vom Gewicht -2.

Mit ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$ wird das ${\displaystyle n}$-fache Tensorprodukt

${\displaystyle \mathbb {Z} (n):=\mathbb {Z} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {Z} (1)}$

bezeichnet.

${\displaystyle \mathbb {Q} (1)}$ ist die rationale Hodge-Struktur mit ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraum

${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Q} \subset \mathbb {C} }$

und ${\displaystyle \mathbb {Q} (1)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}}$. ${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$ ist das ${\displaystyle n}$-fache Tensorprodukt ${\displaystyle \mathbb {Q} (n):=\mathbb {Q} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {Q} (1)}$.

${\displaystyle \mathbb {R} (1)}$ ist die Hodge-Struktur mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum

${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

und ${\displaystyle \mathbb {R} (1)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}}$. ${\displaystyle \mathbb {R} (n)}$ ist das ${\displaystyle n}$-fache Tensorprodukt ${\displaystyle \mathbb {R} (n):=\mathbb {R} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {R} (1)}$.

Die Kohomologie einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ trägt eine Hodge-Struktur: nach dem Satz von Hodge kann man die ${\displaystyle n}$-te Kohomologie ${\displaystyle H^{n}(M;\mathbb {R} )}$ mit dem Raum der harmonischen Differentialformen ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}(M)}$ identifizieren und es gilt

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}{\mathcal {H}}^{p,q}(M)}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(M)}$ die harmonischen (p,q)-Formen bezeichnet. Es gilt ${\displaystyle {\overline {{\mathcal {H}}^{p,q}(M)}}={\mathcal {H}}^{q,p}(M)}$.

Zu einer reinen Hodge-Struktur vom Gewicht ${\displaystyle n}$ bezeichnet man die Filtrierung

${\displaystyle \ldots \supset F^{p}\supset F^{p+1}\supset \ldots }$

mit

${\displaystyle F^{p}=\bigoplus _{r\geq p}V^{r,s}\subset V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

als zugehörige Hodge-Filtrierung.

Die Hodge-Filtrierung bestimmt die Hodge-Zerlegung durch

${\displaystyle V^{p,q}=F^{p}\cap {\overline {F^{q}}}.}$

Die Existenz einer reinen Hodge-Zerlegung vom Gewicht ${\displaystyle n}$ ist also äquivalent zur Existenz einer Filtrierung ${\displaystyle (F^{p})_{p\in \mathbb {Z} }}$ von ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle F^{p}=0}$ für hinreichend große ${\displaystyle p}$ und

${\displaystyle F^{p}\oplus {\overline {F^{q+1}}}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

für alle ${\displaystyle p,q}$ mit ${\displaystyle p+q=n}$.

• Wells R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds (3rd ed.), Springer 2008, ISBN 978-0-387-73891-8.
• Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris: Period mappings and period domains. 2nd edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168. Cambridge: Cambridge University Press (2017), ISBN 978-1-316-63956-6 (Paperback), 978-1-108-42262-8 (Hardback), 978-1-316-99584-6 (E-Book).