Hilbertwürfel

Der Hilbertwürfel, auch Hilbertquader oder hilbertscher Fundamentalquader genannt, englisch Hilbert cube, ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel ${\displaystyle [0,1]^{3}}$ auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Definition

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}$ ist der Produktraum ${\displaystyle [0,1]^{\aleph _{0}}}$, versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

• ${\displaystyle W}$ ist die Menge aller Folgen ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}}$ mit ${\displaystyle 0\leq \xi _{n}\leq 1}$ für alle ${\displaystyle n}$.
• Eine Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle W}$, wobei ${\displaystyle x_{m}=(\xi _{n}^{(m)})_{n}}$, konvergiert genau dann gegen ein ${\displaystyle x=(\xi _{n})_{n}\in W}$, wenn ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\xi _{n}^{(m)}=\xi _{n}}$ für alle Indizes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Eigenschaften

• Der Hilbertwürfel ist zusammenhängend und wegzusammenhängend, denn diese Eigenschaften übertragen sich auf Produkträume.
• Der Hilbertwürfel ist ein kompakter Hausdorffraum, wie unmittelbar aus dem Satz von Tychonoff folgt.
• Der Hilbertwürfel ist metrisierbar, eine die Topologie definierende Metrik ist durch

${\displaystyle d((\xi _{n})_{n},(\eta _{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\xi _{n}-\eta _{n}|}{2^{n}}}}$

gegeben.

• Wie alle kompakten, metrisierbaren Räume ist der Hilbertwürfel separabel und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom (und damit auch dem Ersten Abzählbarkeitsaxiom). Hierbei ist die Menge

${\displaystyle D=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}\in \mathbb {Q} {\mbox{ und }}\xi _{n}=0{\mbox{ für fast alle }}n\}}$

eine abzählbare dichte Teilmenge von ${\displaystyle W}$. Die Menge aller ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}}$-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus ${\displaystyle D}$ ist dann eine abzählbare Basis.

• Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels ${\displaystyle W}$ ist unendlich, denn für jedes ${\displaystyle m}$ enthält der Hilbertwürfel den zu ${\displaystyle [0,1]^{m}}$ homöomorphen Unterraum ${\displaystyle W_{m}:=\{(\xi _{n})_{n}\in W;\,\xi _{n}=0{\mbox{ für alle }}n>m\}}$, muss daher eine Dimension ${\displaystyle \geq m}$ haben für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ und das heißt ${\displaystyle \dim W=\infty }$.

Universelle Eigenschaft

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis

Der Hilbertwürfel ${\displaystyle W}$ ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. ${\displaystyle W}$ ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt^[1]:

• Jeder kompakte Hausdorffraum mit abzählbarer Basis ist homöomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum des Hilbertwürfels.

Polnische Räume

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt^[2]:

• Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die ${\displaystyle G_{\delta }}$-Mengen im Hilbertwürfel.
• Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Der Hilbertwürfel im l²

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}}$ der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

${\displaystyle {\tilde {W}}:=\{(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2};\,|\xi _{n}|\leq {\tfrac {1}{n}}{\mbox{ für alle }}n\}}$.

Dann ist ${\displaystyle \textstyle \varphi \colon W\rightarrow {\tilde {W}},(\xi _{n})_{n}\mapsto ({\frac {2\xi _{n}-1}{n}})_{n}}$ ein Homöomorphismus, wenn man ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$ versieht. Beachte, dass ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ keine Nullumgebung in ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist, denn ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf ${\displaystyle {\tilde {W}}}$ die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{2^{n}}}]}$ oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}]}$ oder ${\displaystyle \textstyle W:=\prod _{n=1}^{\infty }[0,{\frac {1}{n}}]}$, versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre ${\displaystyle W}$ selbst eine Teilmenge des Hilbertraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Die erste Variante wird in ^[3] verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in ^[4], wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Einzelnachweise

1. ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 Kapitel 5.2, Satz 8.
2. ↑ Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf S. 335.
3. ↑ Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Bd. 6181). 4., verbesserte und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 14.
4. ↑ Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 199.