Hilbertalgebra

Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution und einem Skalarprodukt , das zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • für alle
  • für alle
  • Für jedes ist die Abbildung stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
  • Aus für alle folgt .

Im Folgenden sei der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung fortsetzt, für die

und für alle

gilt, man nennt die kanonisch durch definierte Involution auf .

Die Abbildungen und setzen sich für jedes zu stetigen linearen Operatoren und fort, so dass gilt:

ist ein involutiver Homomorphismus
ist ein involutiver Antiomomorphismus
für alle
und für alle

Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von und werden mit und bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu . Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.[1]

Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form ist.[2]

Beispiel

Die H*-Algebra Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet den konjugierten Hilbertraum, so ist isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt . Für ist der eindimensionale Operator , wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist

und daher

,

also

,

wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man

ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren liegen dicht in den jeweiligen Algebren.[3]

Semiendliche Von-Neumann-Algebren

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren.[4] Ist eine Hilbertalgebra, so ist durch eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist mit dem durch definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu isomorph ist.

Verallgemeinerte Hilbertalgebra

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution und einem Skalarprodukt , das zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Die Abbildung ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung .
  • für alle
  • Für jedes ist die Abbildung stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
  • Aus für alle folgt .[5]

Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.[6]

Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung , abschließbar ist, das heißt aus und bereits folgt. Für jedes folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra

und daher , denn war beliebig, das heißt steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.

Wie oben setzen sich die Abbildungen zu Operatoren auf fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von . Der Abschluss der Abbildung heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.

Eine beliebige Von-Neumann-Algebra hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht . Dann ist eine verallgemeinerte Hilbertalgebra,[7] deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu isomorph ist.

Einzelnachweise

  1. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I.5.1: Definition of Hilbert algebras.
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I, §5, Absatz 5, Definition 7.
  3. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 5: Normal traces on L(H).
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 2, Theorem 1 und Theorem 2.
  5. M. Takesaki: Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its applications. Lecture Notes in Mathematics, Band 128, Springer-Verlag 1970, §2.
  6. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II. Academic Press, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Definition 9.2.41.
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Satz 9.2.40.