Higgs-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl ${\displaystyle Hp_{n}\in \mathbb {P} }$, bei der ${\displaystyle Hp_{n}-1}$ die ${\displaystyle a}$-te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$, dass die Higgs-Primzahl ${\displaystyle Hp_{n}}$ folgende Bedingung erfüllt:

${\displaystyle \varphi (Hp_{n})=Hp_{n}-1{\mbox{ teilt }}\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ mit }}Hp_{n}>Hp_{n-1}}$

wobei ${\displaystyle \varphi (n)}$ die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ an, wie viele zu ${\displaystyle n}$ teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind; bei Primzahlen ${\displaystyle p}$ ist ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$).

Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

Beispiele

• Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=2}$ (also für Quadrate) sind die folgenden:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Folge A007459 in OEIS)

• Die Zahl ${\displaystyle Hp_{8}=23}$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=2}$, weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19)^{2}=325550124900}$ die Zahl ${\displaystyle Hp_{8}-1=23-1=22}$ als Teiler hat (es ist ${\displaystyle 325550124900:22=14797732950}$).
• Die Zahl ${\displaystyle 17}$ ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=2}$: das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)^{2}=901800900}$ hat die Zahl ${\displaystyle 17-1=16}$ nicht als Teiler (es bleibt ${\displaystyle 4}$ Rest).
• Die Zahl ${\displaystyle 13}$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=6}$, weil die ${\displaystyle 6}$-te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11)^{6}=151939915084881000000}$ die Zahl ${\displaystyle 13-1=12}$ als Teiler hat (es ist ${\displaystyle 151939915084881000000:12=12661659590406750000}$).
• Bei höheren Potenzen ${\displaystyle a}$ sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz ${\displaystyle a}$ bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz ${\displaystyle a}$ an:

Eigenschaften

• Für die Potenz ${\displaystyle a=1}$ gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:

2, 3, 7, 43

Beweis:

Angenommen, es gibt eine Primzahl ${\displaystyle p>2\cdot 3\cdot 7\cdot 43=1806}$ (die nächste ist ${\displaystyle p=1811}$), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz ${\displaystyle a=1}$ ist. Dann muss ${\displaystyle p-1\geq 1810}$ ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=1}$, also von ${\displaystyle (2\cdot 3\cdot 7\cdot 43)^{1}=1806}$ sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil ${\displaystyle p-1\geq 1810}$ kein Teiler der kleineren Zahl ${\displaystyle 1806}$ sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen ${\displaystyle p\geq 1811}$ aus. Alle Primzahlen ${\displaystyle 1811>p>43}$ scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus. ${\displaystyle \Box }$

• Alle bekannten Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ sind keine Higgs-Primzahlen für die ${\displaystyle a}$-ten Potenzen mit ${\displaystyle a<2^{n}}$.

Beweis:

Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass

• die erste Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{0}=1}$ ist.
• die zweite Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{1}=2}$ ist.
• die dritte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{2}=4}$ ist.
• die vierte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{3}=8}$ ist.
• die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl ${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{1}6+1=65537}$ keine Higgs-Primzahl für ${\displaystyle a<2^{4}=16}$ ist. ${\displaystyle \Box }$

• Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.^[1]

Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz ${\displaystyle a=2}$ endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

Ungelöste Probleme

• Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten ${\displaystyle a\geq 2}$ existieren.

Einzelnachweise

1. ↑ Stanley Burris, Simon Lee: Tarski's high school identities. American Mathematical Monthly 100 (3), 1993, S. 231–236, abgerufen am 2. Juli 2018.