Hexakisikosaeder

3D-Ansicht eines Hexakisikosaeders (Animation)
Netz des Hexakisikosaeders

Das Hexakisikosaeder (aus griechisch ἑξάκιςhexakis „sechsmal“ und Ikosaeder „Zwanzigflächner“) oder Disdyakistriakontaeder (griechisch δίςdis „zweimal“, δυάκιςdyakis „zweimal“ und Triakontaeder „Dreißigflächner“) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 120 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Ikosidodekaederstumpf und hat 62 Ecken sowie 180 Kanten.

Entstehung

Rhombentriakontaeder als Basis

Werden auf die 30 Begrenzungsflächen eines Rhombentriakontaeders (Kantenlänge ) Pyramiden mit den Flankenlängen und aufgesetzt, entsteht ein Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge übrig bleibt.
  • Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten und entsteht, wenn ist.
  • Nimmt b den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen und .
  • Überschreitet den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Ikosidodekaederstumpf als Basis

Konstruktion des Dreiecks am Ikosidodekaederstumpf

Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Ikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisikosaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 165°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei die Kantenlänge des Ikosidodekaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

Formeln

Im Folgenden bezeichne die jeweils längste Kante des Hexakisikosaeders ().

Regulär

Basis ist das abgestumpfte Ikosidodekaeder (dualer archimedischer Körper).

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Inkugelradius
Kantenkugelradius
Flächenwinkel
 ≈ 164° 53′ 16″
Sphärizität
 ≈ 0,98572
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
2. Seitenlänge
3. Seitenlänge
1. Winkel
 ≈ 88° 59′ 30″
2. Winkel
 ≈ 58° 14′ 17″
3. Winkel
 ≈ 32° 46′ 13″

Rhombisch

Basis ist das Rhombentriakontaeder (Kantenlänge ).

Allgemein

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen
Oberflächeninhalt
Pyramidenhöhe
Inkugelradius
Flächenwinkel
 (über Kante a)
Flächenwinkel
 (über Kante b)
Flächenwinkel
 (über Kante c)


Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
3. Kantenlänge
1. Winkel
2. Winkel
3. Winkel

Speziell

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Inkugelradius
Flächenwinkel
 (ü. Kanten a, b)
≈ 163° 27′ 53″
Flächenwinkel
 (ü. Kante c)
≈ 169° 48′ 9″
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt
2. Seitenlänge
3. Seitenlänge
1. Winkel
 ≈ 89° 15′ 26″
2. Winkel
 ≈ 58° 39′ 10″
3. Winkel
 ≈ 32° 5′ 24″

Weblinks

Commons: Disdyakistriakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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