Hexadezimalsystem

Hexadezimalziffern,
binär und dezimal:
Hex.DualsystemDez.
0000000
1000101
2001002
3001103
4010004
5010105
6011006
7011107
8100008
9100109
A101010
B101111
C110012
D110113
E111014
F111115

Im Hexadezimalsystem werden Zahlen in einem Stellenwertsystem zur Basis 16 dargestellt. „Hexadezimal“ (von griech. hexa „sechs“ und lat. decem „zehn“) ist ein lateinisch-griechisches Mischwort; eine andere korrekte, jedoch seltener verwendete Bezeichnung ist sedezimal (von lat. sedecim „sechzehn“). Eine weitere alternative Bezeichnung ist hexadekadisch (griechisch). Falsch hingegen ist der Ausdruck hexagesimal, der synonym zu sexagesimal ist und das Zahlensystem zur Basis 60 bezeichnet.

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem sehr oft verwendet, da es sich hierbei letztlich um eine komfortablere Verwaltung des Binärsystems handelt. Die Datenwörter bestehen in der Informatik meist aus Oktetten, die statt als achtstellige Binärzahlen auch als nur zweistellige Hexadezimalzahlen dargestellt werden können. Im Gegensatz zum Dezimalsystem eignet sich das Hexadezimalsystem mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz (16 = 24) zur einfacheren Notation der Binärzahlen, da stets eine feste Anzahl Zeichen zur Wiedergabe des Datenwortes benötigt wird. Ein Nibble kann exakt mit einer hexadezimalen Ziffer und ein Byte mit zwei hexadezimalen Ziffern dargestellt werden.

In den 1960er und 1970er Jahren wurde in der Informatik häufig auch das Oktalsystem mit seiner Basis als dritte Zweierpotenz (8 = 23) verwendet, da es mit den üblichen Ziffern von 0 bis 7 auskommt. Es findet aber heute seltener Anwendung, beispielsweise zur Darstellung von Zeichen in der Programmiersprache C. Auch gibt es noch weitere Zahlensysteme mit verschiedenen Basiswerten.[1]

Wir sind es gewohnt, im Dezimalsystem zu rechnen. Das bedeutet, unser indo-arabisches Zahlensystem verwendet zehn Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen sechzehn Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück.

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um hexadezimale von dezimalen Zahlen unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise werden hexadezimale Zahlen mit einem Index oder Präfix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind: 7216, 72hex, 72h, 72H, 72H, 0x72, $72, "72 und X'72', wobei das Präfix 0x und das Suffix h insbesondere in der Programmierung und technischen Informatik Verwendung finden. Das Anhängen eines h an die Hex-Zahl ist auch als Intel-Konvention geläufig. Die Schreibweise mit dem Dollar-Präfix ist in den Assemblersprachen bestimmter Prozessorfamilien üblich, insbesondere bei Motorola, zum Beispiel beim Motorola 68xx und 68xxx, aber auch beim MOS 65xx; die Schreibweise X'72' ist in der Welt der IBM-Großrechner üblich, wie in REXX.

Der Übersicht dienende Trennpunkte können bei Hexadezimalzahlen alle vier Stellen gesetzt werden, trennen also Gruppen von jeweils sechzehn Bit. Die Bedeutung der 1.000016 = 65.53610 unter den hexadezimalen Zahlen entspricht also jener der 1.00010 unter den dezimalen Zahlen.

Zum Vergleich ein voller Vierundsechzig-Bit-Bus mit und ohne Trennpunkte: FFFF.FFFF.FFFF.FFFF und FFFFFFFFFFFFFFFF

Dezimale Zahlen werden, wo sie nicht der zu erwartende Normalfall sind, indiziert: 11410

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0123456789ABCDEF
101112131415161718191A1B1C1D1E1F
202122232425262728292A2B2C2D2E2F
................................................
F0F1F2F3F4F5F6F7F8F9FAFBFCFDFEFF
10010110210310410510610710810910A10B10C10D10E10F
................................................
FF0FF1FF2FF3FF4FF5FF6FF7FF8FF9FFAFFBFFCFFDFFEFFF
1000100110021003100410051006100710081009100A100B100C100D100E100F
................................................
FFF0FFF1FFF2FFF3FFF4FFF5FFF6FFF7FFF8FFF9FFFAFFFBFFFCFFFDFFFEFFFF
100001000110002100031000410005100061000710008100091000A1000B1000C1000D1000E1000F
................................................

Aussprache der Hexadezimalzahlen

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher meist Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

  • 10 sprich: „eins-null“ (nicht: „zehn“),
  • 1E sprich: „eins-E“,
  • F112 sprich: „F-eins-eins-zwei“.

Es lässt sich jedoch auch analog die Zählweise des Dezimalsystems verwenden, ohne dass der Einsatz des Hexadezimalsystems bei jeder Zahl gehört werden kann und sich dann zum Beispiel aus dem Kontext ergeben muss.

Beispiele:

  • 10 sprich: „zehn“,
  • 1E sprich: „E-zehn“,
  • BD sprich: „D-und-B-zig“,
  • F2A sprich: „F-hundert-A-undzwanzig“,
  • F112 sprich: „F-tausendeinhundertzwölf“.

Hexadezimale Multiplikationstafel (kleines Einmaleins)

Beispiel: 2 • 5 = A

Von der Spalte mit dem Wert 2 vertikal hinunter gehen bis Schnittpunkt der Zeile mit Wert 5. Ergebnis: A

*123456789ABCDEF10
1123456789ABCDEF10
22468ACE10121416181A1C1E20
3369CF1215181B1E2124272A2D30
448C1014181C2024282C3034383C40
55AF14191E23282D32373C41464B50
66C12181E242A30363C42484E545A60
77E151C232A31383F464D545B626970
88101820283038404850586068707880
99121B242D363F48515A636C757E8790
AA141E28323C46505A646E78828C96A0
BB16212C37424D58636E79848F9AA5B0
CC1824303C4854606C7884909CA8B4C0
DD1A2734414E5B6875828F9CA9B6C3D0
EE1C2A38465462707E8C9AA8B6C4D2E0
FF1E2D3C4B5A69788796A5B4C3D2E1F0
10102030405060708090A0B0C0D0E0F0100

Hexadezimalbrüche

Da das Hexadezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, haben die Stellen nach dem Komma (das auch hier manchmal als Beistrich, manchmal als Punkt geschrieben wird) den Stellenwert , wobei die dezimale Basis 16 und die Position der jeweiligen Nachkommastelle ist. Die erste Nachkommastelle (n=1) hat damit den Stellenwert , die zweite Nachkommastelle (n=2) hat den Stellenwert , die dritte Nachkommastelle (n=3) hat den Wert und so weiter.

Da die Zahl 16 nur über den einzigen Primfaktor 2 verfügt, ergibt sich bei allen gekürzten Brüchen, deren Nenner keine Zweierpotenz ist, eine periodische Kommadarstellung im Hexadezimalsystem:

= 1 = 0,316 = 0,1C716 = 0,13B16
= 0,816 = 0,2A16 = 0,1916 = 0,124916
= 0,516 = 0,24916 = 0,1745D16 = 0,116
= 0,416 = 0,216 = 0,1516 = 0,116

Negative Zahlen

Negative Zahlen lassen sich ebenfalls darstellen. Dazu wird in den meisten Fällen die Zweierkomplement-Darstellung verwendet. Durch ihre Auslegung braucht an den Mechanismen für Rechnungen in den Grundrechenarten keine Änderung vorgenommen zu werden.

Anwendung

Informatik

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade genannt) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben:

                                  Binär      Hexadezimal           Dezimal
                                   1111  =             F  =             15
                                 1.1111  =            1F  =             31
                      11.0111.1100.0101  =          37C5  =         14.277
                    1010.1100.1101.1100  =          ACDC  =         44.252
                  1.0000.0000.0000.0000  =        1.0000  =         65.536
1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101  =     AFFE.0815  =  2.952.661.013

Der Punkt dient bei dieser Darstellung lediglich der Zifferngruppierung.

Software stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

Mathematik

Seit die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel zur Berechnung von π im Jahr 1995 entwickelt wurde, ist das Hexadezimalsystem auch jenseits der Informatik von Bedeutung. Diese Summenformel kann jede beliebige Hexadezimalstelle von π berechnen, ohne die vorhergehenden Stellen dafür zu benötigen.

Konvertierung in andere Zahlensysteme

Viele Taschenrechner, aber auch die genauso genannten Hilfsprogramme auf Personal Computern, bieten Umrechnungen zum Zahlbasiswechsel an. Insbesondere rechnen die Windows- und macOS-Programme „Rechner“ Binär-, Hexadezimal- und Oktalzahlen in Dezimale und zurück, wenn man unter „Ansicht“ (Windows) bzw. „Darstellung“ (macOS) den Menüpunkt „Programmierer“ auswählt. In vielen Linux-Distributionen ist ein Taschenrechner-Hilfsprogramm vorinstalliert, das eine solche „Programmierer-Option“ beinhaltet, oder man kann an der Kommandozeile die Anweisung printf (als eingebauten bash-Befehl oder gesondertes Hilfsprogramm) dafür benutzen.

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird, die Methode wird daher auch Divisionsverfahren oder Restwertverfahren genannt.

Im Beispiel der 127810 sähe das so aus:

1278 : 16 = 79 Rest: 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest: 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest:  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen und ergibt somit 4.F.E.

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE16:

Umwandlung Hexadezimal nach Oktal

Um Zahlen zwischen dem vor allem früher in der Informatik verbreiteten Oktalsystem und dem heute gebräuchlichen Hexadezimalsystem umzuwandeln, ist es zweckmäßig, den Zwischenschritt über das Binärsystem zu gehen. Dies gelingt recht einfach, da sowohl die Basis 8, als auch die Basis 16 Zweierpotenzen sind.

  • Die Hexadezimalzahl wird nach obiger Tabelle in eine Folge von Binärziffern umgewandelt.
  • Die Vierergruppen in Dreiergruppen umwandeln.
  • Anschließend wird die Binärfolge in eine Oktalfolge übersetzt.

Beispiel für 8D5316:

Umwandlung Oktal nach Hexadezimal

Genauso einfach erfolgt die Umwandlung von oktal nach hexadezimal, nur dass hier der Weg

Oktalfolge → Binärfolge in Dreiergruppen → Binärfolge in Vierergruppen → Hexadezimalfolge

gegangen wird.

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

Formuliert im Dezimalsystem:

Formuliert im Hexadezimalsystem:

Ein- und zweihändiges Zählen mit den Fingerspitzen und Gelenken

Wie auch das altbabylonische Sexagesimalsystem lässt sich auch das Hexadezimalsystem mit den Fingern abzählen. Mithilfe der folgenden Technik wird mit beiden Händen zusammen ein Byte dargestellt. Jede Hand repräsentiert dabei ein Nibble. Dessen oberes Crumb sich am benützten Finger zeigt, sein unteres Crumb dagegen am bezeigten Gelenk bzw. der Fingerspitze. Ein Bitflip ist durch Punktspiegelung der Daumenposition am Mittelpunkt der Fingerfläche herbeiführbar.

Einhändiges Zählen von Null bis F16

OK-Zeichen

Benutzt man, wie schon die alten Babylonier, den Daumen als Zeiger und legt ihn an die Spitze des Zeigefingers wie beim OK-Zeichen der Taucher und definiere dieses Zeichen als die Null. Dann lässt sich am oberen Gelenk des Zeigefingers die Eins festlegen, gefolgt von der Zwei am mittleren und schließlich der Drei am unteren Gelenk. Genauso fortgesetzt über die Vier an der Spitze des Mittelfingers, der Acht an der Spitze des Ringfingers und der Zwölf an der des Kleinen. Damit lässt sich dann bis 15 = F16 zählen, wenn der Daumen das untere Gelenk des kleinen Fingers erreicht hat, da wo er angewachsen ist.

Die beiden Crumbs des Nibbles werden dabei orthogonal auf der Hand abgebildet. So, dass die unteren beiden Bits an der Höhe des Daumens am jeweiligen Finger und die beiden oberen am benützen Finger abgelesen werden können. Das heißt, sowohl ein Daumen an der Fingerspitze, als auch am Zeigefinger steht für 002 im jeweiligen Crumb. Das obere Gelenk sowie der Mittelfinger stehen für 012, das mittlere Gelenk und der Ringfinger für 102 und das untere Gelenk und der kleine Finger bedeuten 112. Es müssen sich somit nur noch vier Kombinationen gemerkt werden, um mit der Hand zwischen Hexadezimal- und Binärsystem zu konvertieren, anstelle von 16.

Ein Bitflip ist durch Punktspiegelung der Position des Daumens am Schnittpunkt der gedachten Achsen zwischen Ring- und Mittelfinger sowie der oberen und mittleren Gelenkreihe einfach zu erzielen. Ein Beispiel ist am Ende der folgenden Tabelle gegeben.

Beispiel zur Umwandlung zwischen Hex und Binär sowie von Bitflips mithilfe der Hand
Ganzes NibbleOberes CrumbFingerUnteres CrumbPosition des Daumens am Finger
016 = (00 00)2002Zeigefinger002Spitze, OK-Zeichen
116 = (00 01)2002Zeigefinger012Oberes Gelenk
216 = (00 10)2002Zeigefinger102Mittleres Gelenk
316 = (00 11)2002Zeigefinger112Unteres Gelenk
416 = (01 00)2012Mittelfinger002Spitze
816 = (10 00)2102Ringfinger002Spitze
C16 = (11 00)2112kleiner Finger002Spitze
Bitflip von 216 durch Punktspiegelung am Schnittpunkt der o. g. gedachten Achsen
D16 = (11 01)2112kleiner Finger012Oberes Gelenk

Zweihändiges Zählen von Null bis FF16

Zählt man nun auf der linken Hand mit dem oben beschriebenen Verfahren wie oft man auf der rechten Hand bis F16 gezählt hat, so lässt sich mit zwei Händen ein Byte darstellen. Da an jedem Finger vier Elemente gezählt werden ergibt sich, dass an den Fingerspitzen Vielfache von Vier auftreten. Dies bedeutet, dass wenn die Daumen der jeweiligen Hände an der jeweiligen Zeigefingerspitze bei Null zu zählen beginnen, so erhöht sich der Wert an den Spitzen der Finger der rechten Hand um vier, wohingegen er sich beim Zählen über die Fingerspitzen der linken Hand um jeweils 4016 bzw. 64 erhöht. Rückt man an der linken Hand nur um ein Fingerglied vor oder zurück, so ändert sich der dargestellte Wert um 1016 bzw. 16.

Siehe auch

  • Hexadezimale Farbdefinition – die Darstellung einer Farbe mit hexadezimaler Kodierung des Rot-, Grün- und Blauwertes
  • Hex-Editor – ein Editor, um beliebige Dateien, die als Folge von Hexadezimalzahlen dargestellt werden, zu bearbeiten
  • Hexadezimalzeit – ein 1863 vorgeschlagenes Uhrzeitformat, das sich nicht durchgesetzt hat
  • Hexspeak – spezielle Begriffe, die sich durch Ziffern und die Buchstaben A–F darstellen lassen
  • Stellenwertsystem
  • Unärsystem (1)
  • Dualsystem (2).
  • Ternärsystem (3)
  • Quaternär (4)
  • Quinär (5)
  • Senär (6)
  • Dezimalsystem (10)

Weblinks

Wiktionary: Hexadezimalsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Umrechnen mit verschiedenen Basiswerten, abgerufen am 30. Oktober 2018

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Autor/Urheber: Peter Southwood, Lizenz: CC BY-SA 3.0
RSTC standard hand signal for scuba diving - OK, version 1