Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.^[1] Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$^[2].

Formulierung

Es sei ${\displaystyle K}$ ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring ${\displaystyle A}$ und Restklassenkörper ${\displaystyle k}$. Ist nun ${\displaystyle f\in A[X]}$ ein Polynom, dessen Reduktion ${\displaystyle {\bar {f}}\in k[X]}$ das Produkt zweier teilerfremder Polynome ${\displaystyle {\bar {g}},{\bar {h}}\in k[X]}$ ist, so gibt es Polynome ${\displaystyle g,h\in A[X]}$, so dass ${\displaystyle f=gh}$ gilt und ${\displaystyle {\bar {g}}}$ bzw. ${\displaystyle {\bar {h}}}$ die Reduktion von ${\displaystyle g}$ bzw. ${\displaystyle h}$ ist.

Beispiele

• Mit dem henselschen Lemma kann man zeigen, dass der Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen die ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln enthält:

Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ sei ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}}$ der Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen, ${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{p}}$ und ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}}$. Das Polynom ${\displaystyle f(X):=X^{p-1}-1}$ zerfällt über ${\displaystyle k}$ in Linearfaktoren

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p-1}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})\cdots (X-{\overline {p-1}})}$.

Es gibt also Polynome ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}[X]}$, so dass

${\displaystyle f=g_{1}\cdots g_{p-1},\qquad g_{i}(X)\equiv X-i{\pmod {p}}}$

gilt. Die Polynome ${\displaystyle g_{i}}$ haben notwendigerweise die Form ${\displaystyle g(X)=aX+b}$ mit ${\displaystyle a\in 1+p\mathbb {Z} _{p}}$, man kann also ${\displaystyle a=1}$ annehmen, d. h. es gibt ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}}$, so dass

${\displaystyle X^{p-1}-1=(X-\zeta _{1})\cdots (X-\zeta _{p-1})}$

gilt. Die ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}}$ sind die ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass ${\displaystyle \zeta _{i}\equiv i{\pmod {p}}}$.

• Ist die Primzahl ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$, dann gibt es nach dem Obigen ein ${\displaystyle \eta \in \mathbb {Q} _{p}}$ mit ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}$.

Denn unter den ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit ${\displaystyle \zeta }$ bezeichnet, die die zyklische Gruppe der ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit ${\displaystyle \eta :=\zeta ^{\tfrac {p-1}{4}}}$ ergibt sich ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}$.

• Im Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ kann nicht angeordnet werden.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

1. ${\displaystyle p=2}$: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass ${\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} _{2}}$. Sei nämlich ${\displaystyle m_{3}:=1\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle {m_{3}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{3}}}}$. Für ${\displaystyle i=3,4,...}$ sei nun ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {Z} }$ derart, dass ${\displaystyle {m_{i}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{i}}}}$. Da ${\displaystyle {m_{i}}^{2}+7}$ durch 2 teilbar ist, können wir
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-{\frac {{m_{i}}^{2}+7}{2m_{i}}}{\pmod {2^{i+1}}}}$
   bilden. Dann ist
       ${\displaystyle m_{i+1}^{2}\equiv {m_{i}}^{2}-({m_{i}}^{2}+7)\equiv -7{\pmod {2^{i+1}}}}$.
   Somit gibt es eine in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$ konvergente Folge ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}}$ mit ${\displaystyle m^{2}=-7}$. Die Summe von 5 Quadraten ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+m^{2}=7+m^{2}=7-7=0}$ verschwindet.
2. ${\displaystyle p>2}$: Mit ${\displaystyle m_{2}:=1+{\tfrac {p-1}{2}}p}$ ist wegen
       ${\displaystyle 1-p\equiv 1+(p-1)p+\left({\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}=\left(1+{\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}={m_{2}}^{2}{\pmod {p^{2}}}}$
   die Zahl ${\displaystyle 1-p}$ quadratischer Rest in ${\displaystyle p^{2}\mathbb {Z} _{p}.}$ Die Folge ${\displaystyle \{m_{i}\}}$ lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$ entwickeln, für das ${\displaystyle m^{2}=1-p}$ gilt. Man nehme nur
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-({m_{i}}^{2}+1-p)\,{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p^{i+1}}}}$
   Im Ergebnis verschwindet die Summe der ${\displaystyle p}$ Quadrate ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+m^{2}=(p-1)+(1-p)=0.}$

• Es seien ${\displaystyle K,A,k}$ wie oben, aber ${\displaystyle f(X)=X^{p}-1}$. Dann ist ${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})^{p}}$ mit Faktoren ${\displaystyle X-{\bar {1}}}$, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring

Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle K}$ vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper ${\displaystyle K}$ beziehungsweise Ringe ${\displaystyle A}$, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}$, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}$ des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}$ und diese werden mit ihren Hebungen modulo ${\displaystyle p^{k+1}}$ verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen

Sei ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}$ ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei ${\displaystyle k\geq 1}$ die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$. Ist

${\displaystyle f(a)\equiv 0\mod p^{k}}$,

so sagen wir, ${\displaystyle a}$ ist eine Nullstelle von f(X) in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}}$ oder modulo ${\displaystyle p^{k}}$.

Sei ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f(X)}$ modulo ${\displaystyle p^{k}}$. Sei ${\displaystyle l\geq 1}$ . Ist ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ eine Nullstelle von f(X) modulo ${\displaystyle p^{k+l}}$ und ist

${\displaystyle b\equiv a\mod p^{k}}$ ,

dann sagen wir, dass ${\displaystyle b}$ eine Nullstelle modulo ${\displaystyle p^{k+l}}$ ist, die die Nullstelle a modulo ${\displaystyle p^{k}}$ hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}}$ eingetragen, wobei ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem ${\displaystyle k}$ wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene (${\displaystyle k=1}$) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p-1]}$ an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene (${\displaystyle k=2}$) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p^{2}-1]}$ an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene (${\displaystyle k=3}$) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{3}}$ eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p^{3}-1]}$ an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Beispiel

Sei das Polynom

${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1}$

gegeben. Sei ${\displaystyle p=5}$ prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Beispiel zu dem Polynom ${\displaystyle x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1=0}$

In der ersten Ebene (${\displaystyle k=1}$) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall ${\displaystyle [0,4]}$. In der zweiten Ebene (${\displaystyle k=2}$) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall ${\displaystyle [0,24]}$ vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene (${\displaystyle k=3}$) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall ${\displaystyle [0,124]}$. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle ${\displaystyle a=3}$ in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle ${\displaystyle a=3}$ aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur

• David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin/ New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06598-2, S. 187. 

• Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 51. 

• Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.
• K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908. 
• Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.

Einzelnachweise

1. ↑ David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.
2. ↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.