Heisenberg-Gruppe

Als Heisenberg-Gruppe bezeichnet man in der Mathematik eine bestimmte Gruppe von Matrizen sowie Verallgemeinerungen davon. Jede Heisenberg-Gruppe besitzt eine topologische Struktur und ist eine Lie-Gruppe.

Die Heisenberg-Gruppe wurde von Hermann Weyl eingeführt, um in der Quantenmechanik die Äquivalenz von Heisenberg-Bild und Schrödinger-Bild zu erklären.

Definition

Obere 3×3-Dreiecksmatrizen der Form

mit Einträgen , und , die einem (beliebigen) kommutativen Ring entstammen können, bilden eine Gruppe unter der üblichen Matrizenmultiplikation, die so genannte Heisenberg-Gruppe. Die Einträge entstammen dabei oft dem Ring der reellen Zahlen oder dem der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

Man kann die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus als zentrale Erweiterung der Gruppe auffassen, was man am besten sieht, wenn man auf durch

eine Gruppenmultiplikation definiert und

beachtet.

Lie-Algebra

Die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe ist die Heisenberg-Algebra.

Anwendung

In der Quantenmechanik hat die Heisenberg-Gruppe die Funktion einer Symmetriegruppe.

Verallgemeinerungen

Es gibt höherdimensionale verallgemeinerte Heisenberg-Gruppen. Als Matrizengruppe besteht die -te Heisenberg-Gruppe aus den quadratischen oberen Dreiecksmatrizen der Größe der Gestalt

wobei ein Zeilenvektor der Länge , ein Spaltenvektor der Länge und die -Einheitsmatrix ist.