Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Erzeugern ${\displaystyle P,Q,R}$, für die gilt

${\displaystyle [P,Q]=R}$

${\displaystyle [P,R]=[Q,R]=0}$

Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe.

Darstellung

Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad Q={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\quad R={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenberg-Algebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen.