Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie)

Die Hamilton-Funktion in der Theorie der optimalen Steuerungen wurde von Lew Pontrjagin als Teil seines Maximumprinzips entwickelt. Sie ähnelt der Hamilton-Funktion der Mechanik, aber unterscheidet sich doch von ihr. Pontrjagin zeigte, dass eine notwendige Bedingung für das Lösen eines Optimalsteuerungsproblems ist, dass die gewählte Steuerung die Hamilton-Funktion minimieren muss.

Notation und Problemstellung

Eine Steuerung ${\displaystyle u(t)}$ soll so gewählt werden, dass folgendes Zielfunktional minimiert wird

${\displaystyle J(u)=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x,u,t)\mathrm {d} t}$

wobei ${\displaystyle x(t)}$ den Zustand des Systems beschreibt, welcher sich gemäß der Differentialgleichungen

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u,t)\qquad x(0)=x_{0}\quad t\in [0,T]}$

entwickelt, und die Steuerung ${\displaystyle u(t)}$ folgenden Einschränkungen genügen muss

${\displaystyle a\leq u(t)\leq b\quad t\in [0,T].}$

Des Weiteren ist ${\displaystyle \Psi (x(T))}$ eine beliebige Funktion des Zielzustandes ${\displaystyle x(T)}$ nach der Zeit ${\displaystyle T}$ sowie ${\displaystyle L(x,u,t)}$ die Lagrangefunktion, welche die Dynamik des betrachteten Systems beschreibt.

Definition der Hamilton-Funktion

${\displaystyle H(x,\lambda ,u,t)=\lambda ^{T}(t)f(x,u,t)+L(x,u,t)\,}$

wobei ${\displaystyle \lambda (t)}$ die Lagrange-Multiplikatoren sind, deren Komponenten die adjungierten Zustände beschreiben.

Literatur

• Velimir Jurdjevic: Geometric Control Theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 52). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2008, ISBN 978-0-521-05824-7.