Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente Charakterisierungen

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• die Killing-Form ist nicht-ausgeartet,
• es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen,
• es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.

Beispiele

• Spezielle lineare Gruppen: ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$
• Spezielle orthogonale Gruppe ${\displaystyle SO(p,q)}$
• Symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp(n)}$
• Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
• Halbeinfache algebraische Gruppen über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind halbeinfache Lie-Gruppen.

Maximal kompakte Untergruppe

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe ${\displaystyle K}$. Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$.

Symmetrischer Raum

Sei ${\displaystyle K}$ eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$. Der Quotient ${\displaystyle G/K}$ ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit ${\displaystyle G^{u}/K}$ bezeichnet. Seine Isometriegruppe ${\displaystyle G^{u}}$ ist eine kompakte Lie-Gruppe.

Literatur

• Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.