Haefliger-Zeeman unknotting theorem

Das Haefliger-Zeeman unknotting theorem (deutsch etwa: Entknotungssatz von Haefliger und Zeeman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie. Er gibt leicht nachprüfbare Bedingungen, wann sich zwei Einbettungen einer Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum ineinander verformen lassen (d. h. zueinander isotop sind). Es ist nach André Haefliger und E. C. Zeeman benannt.

Voraussetzungen

Eine Isotopie von Einbettungen des Intervalls in die Ebene.

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sie heißt -zusammenhängend falls die Homotopiegruppen für alle trivial sind. Eine Einbettung

in den euklidischen Raum ist eine differenzierbare Abbildung, die eine Immersion und eine topologische Einbettung, d. h. ein Homöomorphismus auf ihr Bild (insbesondere injektiv) ist.

Zwei Einbettungen heißen isotop, wenn es eine glatte Homotopie

mit gibt, so dass für jedes die Abbildung eine Einbettung ist.

Satz von Haefliger-Zeeman

Für und sind alle Einbettungen -zusammenhängender -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den zueinander isotop.

Spezialfälle

Diese Einbettung des Kreises ist nicht isotop zum Unknoten.

Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall erhält man: für und sind alle Einbettungen zusammenhängender -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den zueinander isotop.

Dieser Satz stimmt nicht für : es gibt zahlreiche nicht zueinander isotope Knoten im .

Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall erhält man: für und sind alle Einbettungen einfach zusammenhängender -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den zueinander isotop.

Literatur

  • E. C. Zeeman, Isotopies and knots in manifolds, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Prentice-Hall (1962), 187–193.
  • Roger Penrose, J. H. C. Whitehead, E. C. Zeeman, Imbedding of manifolds in Euclidean space, Ann. of Math. 73 (1961) 613–623.
  • J. F. P. Hudson, Piecewise linear topology, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
  • M. Irwin, Embeddings of polyhedral manifolds, Ann. of Math. (2) 82 (1965) 1–14.
  • A. Haefliger, Plongements différentiables de variétés dans variétés, Comment. Math. Helv.36 (1961), 47–82.

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