Haefliger-Zeeman unknotting theorem

Das Haefliger-Zeeman unknotting theorem (deutsch etwa: Entknotungssatz von Haefliger und Zeeman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie. Er gibt leicht nachprüfbare Bedingungen, wann sich zwei Einbettungen einer Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ineinander verformen lassen (d. h. zueinander isotop sind). Es ist nach André Haefliger und E. C. Zeeman benannt.

Voraussetzungen

Eine Isotopie von Einbettungen des Intervalls in die Ebene.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sie heißt ${\displaystyle k}$-zusammenhängend falls die Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{i}M}$ für alle ${\displaystyle i\leq k}$ trivial sind. Eine Einbettung

${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{n}}$

in den euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ist eine differenzierbare Abbildung, die eine Immersion und eine topologische Einbettung, d. h. ein Homöomorphismus auf ihr Bild (insbesondere injektiv) ist.

Zwei Einbettungen ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ heißen isotop, wenn es eine glatte Homotopie

${\displaystyle H\colon M\times \left[0,1\right]\to \mathbb {R} ^{n}}$

mit ${\displaystyle H(.,0)=f_{0},H(.,1)=f_{1}}$ gibt, so dass für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ die Abbildung ${\displaystyle H(.,t)\colon M\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine Einbettung ist.

Satz von Haefliger-Zeeman

Für ${\displaystyle m\geq 2k+2}$ und ${\displaystyle n\geq 2m-k+1}$ sind alle Einbettungen ${\displaystyle k}$-zusammenhängender ${\displaystyle m}$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zueinander isotop.

Spezialfälle

Diese Einbettung des Kreises ist nicht isotop zum Unknoten.

Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall ${\displaystyle k=0}$ erhält man: für ${\displaystyle m\geq 2}$ und ${\displaystyle n\geq 2m+1}$ sind alle Einbettungen zusammenhängender ${\displaystyle m}$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zueinander isotop.

Dieser Satz stimmt nicht für ${\displaystyle m=1}$: es gibt zahlreiche nicht zueinander isotope Knoten im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

Im Fall ${\displaystyle k=1}$ erhält man: für ${\displaystyle m\geq 4}$ und ${\displaystyle n\geq 2m}$ sind alle Einbettungen einfach zusammenhängender ${\displaystyle m}$-dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zueinander isotop.

Literatur

• E. C. Zeeman, Isotopies and knots in manifolds, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Prentice-Hall (1962), 187–193.
• Roger Penrose, J. H. C. Whitehead, E. C. Zeeman, Imbedding of manifolds in Euclidean space, Ann. of Math. 73 (1961) 613–623.
• J. F. P. Hudson, Piecewise linear topology, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• M. Irwin, Embeddings of polyhedral manifolds, Ann. of Math. (2) 82 (1965) 1–14.
• A. Haefliger, Plongements différentiables de variétés dans variétés, Comment. Math. Helv.36 (1961), 47–82.