h-Kobordismus

In der Mathematik ist der h-Kobordismus ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten.

Definition

Ein ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionaler Kobordismus ${\displaystyle W}$ zwischen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißt h-Kobordismus, wenn die Inklusionen ${\displaystyle M\to W}$ und ${\displaystyle N\to W}$ Homotopieäquivalenzen sind.

Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch die a priori schwächere Bedingung ${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$ für die relativen Homologiegruppen.

Wichtige Sätze

In Dimensionen ${\displaystyle n\geq 5}$ ist nach dem h-Kobordismus-Satz (Stephen Smale)^[1] jeder h-Kobordismus zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten trivial, also ein Produkt ${\displaystyle W\simeq M\times \left[0,1\right]}$. (Dies gilt sowohl in der differenzierbaren wie in der stückweise linearen oder in der topologischen Kategorie.)

Wenn die Mannigfaltigkeiten nicht einfach zusammenhängend sind, dann werden nach dem s-Kobordismus-Satz (Barry Mazur, John Stallings, Dennis Barden) die h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe ${\displaystyle Wh(\pi _{1}M)}$ der Fundamentalgruppe klassifiziert.

In der topologischen Kategorie gilt der h-Kobordismus-Satz auch in Dimension 4, nicht jedoch in der differenzierbaren Kategorie. Dies hängt mit dem Scheitern des Whitney-Tricks in differenzierbaren 4-Mannigfaltigkeiten zusammen.

Literatur

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8
• John Milnor: Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press 1965

Weblinks

• Yu. Rudyak: h-cobordism in: Encyclopedia of Mathematics, Springer/Kluwer, ISBN 978-1-55608-010-4

Einzelnachweise

1. ↑ S. Smale, On the structure of manifolds, Amer. J. Math., Band 84, 1962, S. 387–399 online