Höhenfußpunktdreieck

Höhen­fußpunkt­dreieck

Das Höhenfußpunktdreieck^[1] (seltener: orthisches Dreieck) ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie. Es entsteht dadurch, dass die Fußpunkte der drei Höhen (also die Punkte ${\displaystyle H_{a}}$, ${\displaystyle H_{b}}$ und ${\displaystyle H_{c}}$, in denen die Lote von den Ecken des Dreiecks auf die gegenüber liegenden Seiten diese Seiten schneiden) miteinander verbunden werden. Im Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Höhenfußpunktdreieck entartet, da dann zwei Fußpunkte zusammenfallen. Das „Höhenfußpunktdreieck“ ist das zum Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) gehörige Fußpunktdreieck.

Ähnliches Höhen­fußpunkt­dreieck zum Tangenten­dreieck

Eigenschaften

• Jede Höhe des ursprünglichen Dreiecks halbiert entweder einen Innenwinkel oder einen Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Daher stimmt für ein spitzwinkliges Dreieck ABC der Höhenschnittpunkt H dieses Dreiecks mit dem Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks überein. Ist das Dreieck ABC dagegen stumpfwinklig, so ist H gleich einem der Ankreismittelpunkte des Fußpunktdreiecks.
• Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ist der Feuerbach-Kreis des ursprünglichen Dreiecks.
• Fagnano-Problem: Unter allen Dreiecken, die einem spitzwinkligen Dreieck einbeschrieben sind, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang.

Siehe auch

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Literatur

• Harold S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Hoehenfußpunkte – eine Visualisierung mit GeoGebra
• Orthic Triangle (PDF; 104 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 168.