Gruppenexponent

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten $\exp(G)$ einer Gruppe $(G,\cdot ,e)$ die kleinste natürliche Zahl $n>0$ , für die $g^{n}=e$ (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente $g$ gilt.^[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $G$ habe Exponent $\infty$ (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften

Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.^[2]
Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

Für die primen Restklassengruppen $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
Der Gruppenexponent von $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$ mit einer Primzahl $p$ ist gleich der Gruppenordnung $p-1$ .
Der Gruppenexponent von $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }$ ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
Der Körper $\mathbb {F} _{q}$ mit $q=p^{k}$ Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung $q$ und Gruppenexponent $p$ (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring $\mathbb {F} _{p}[X]$ und der algebraische Abschluss von $\mathbb {F} _{p}$ , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik $p$ ) in der additiven Verknüpfung.
Jedes Element $m/n+\mathbb {Z}$ der (unendlichen) Torsionsgruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ hat die endliche Ordnung $n$ , wenn $n>0$ gilt und $m$ zu $n$ teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist $\exp(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=\infty$ .