Grothendieck-Spektralsequenz
In der Mathematik, in der homologischen Algebra, ist die Grothendieck-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren mithilfe der abgeleiteten Funktoren von und .
Sie wurde konstruiert und 1957 veröffentlicht von Alexander Grothendieck in seiner heute meist als Tôhoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d’algèbre homologique im Tôhoku Mathematical Journal.
Viele Spektralsequenzen in der algebraischen Geometrie sind Anwendungen der Grothendieck-Spektralsequenz, wie beispielsweise die Leray-Spektralsequenz oder die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz.
Aussage
Seien und zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei und jeweils genügend Injektive haben und injektive Objekte auf -azyklische Objekte abbildet (d. h. für alle ), dann existiert für jedes Objekt in eine Spektralsequenz
wobei jeweils die i-te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet, und der Pfeil "" Konvergenz von Spektralsequenzen meint.
Fünfterm exakte Sequenz
Die Fünfterm exakte Sequenz lautet
Beispiel
Leray-Spektralsequenz
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist das direkte Bild ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf und den Garben auf . Wir nennen den globalen Schnittfunktor auf , analog auf . Dann gilt nach Definition von , und bildet injektive auf -azyklische Objekte ab. Also existiert für jede Garbe auf eine Spektralsequenz mit
genannt die Leray-Spektralsequenz.
Beweisidee
Wähle eine von . Wir können eine injektive Auflösung für den Komplex konstruieren[1]:
- .
Nun ist ein Doppelkomplex, zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden können:
- ,
was immer 0 ist für , da nach Voraussetzung -azyklisch ist. Also ist
- und .
Außerdem haben wir:
- (die letzte Gleichheit gilt, wie leicht nachgeprüft werden kann, da injektiv und linksexakt ist).
Da eine injektive Auflösung von ist, gilt:
Da die beiden Spektralsequenzen den gleichen Grenzterm haben, ist die Aussage gezeigt.
Literatur
- Roger Godement: Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Hrsg.: Hermann. Paris 1973.
- Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
- Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.
Weblinks
- Grothendieck spectral sequence. In: PlanetMath. (englisch)
Einzelnachweise
- ↑ Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.