Gromov-hyperbolischer Raum

In der Mathematik ist ein Gromov-hyperbolischer Raum ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen.

Definition

Ein geodätisches Dreieck in einer negativ gekrümmten Fläche

Ein geodätischer metrischer Raum heißt δ-hyperbolisch für ein δ≥0, wenn alle geodätischen Dreiecke δ-dünn sind, d. h. jede Kante des Dreiecks in der δ-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Kanten enthalten ist:

${\displaystyle [x,y]\subseteq U_{\delta }([y,z]\cup [z,x]),}$

${\displaystyle [y,z]\subseteq U_{\delta }([z,x]\cup [x,y]),}$

${\displaystyle [z,x]\subseteq U_{\delta }([x,y]\cup [y,z]).}$

Diese Bedingung ist zum Beispiel für geodätische Dreiecke in Bäumen mit ${\displaystyle \delta =0}$ oder in der hyperbolischen Ebene mit ${\displaystyle \delta =ln({\sqrt {2}}+1)}$ erfüllt, allgemeiner für geodätische Dreiecke in einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung.

Ein δ-dünnes Dreieck

Ein metrischer Raum heißt Gromov-hyperbolisch, wenn er δ-hyperbolisch für ein δ≥0 ist.

Äquivalent kann man Hyperbolizität mithilfe des Gromov-Produktes definieren. Ein metrischer Raum ist dann δ-hyperbolisch, wenn für alle p, x, y und z in X gilt

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

Die δ-Hyperbolizität bezüglich der ersten Definition ist äquivalent zur δ-Hyperbolizitat bezüglich der zweiten Definition mit einem möglicherweise anderen Wert der Konstante δ.

Hyperbolische Gruppen

Eine hyperbolische Gruppe ist eine endlich erzeugte Gruppe, deren Cayley-Graph zu einem endlichen Erzeugendensystem δ-hyperbolisch für ein δ>0 ist. (Bis auf die Konstante δ ist diese Bedingung unabhängig von der Wahl des endlichen Erzeugendensystems.)

Gromov-Rand

Der Gromov-Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\subset X}$ bzgl. der Äquivalenzrelation

${\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\sim (y_{n})_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim(x_{n},y_{n})_{o}=\infty }$

für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt ${\displaystyle o\in X}$.

Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis bestehend aus den Mengen

${\displaystyle U(\xi ,r):=\left\{\eta \in \partial _{\infty }X:\exists (x_{i}),(y_{j})\ s.d.\ \xi =\left[x_{i}\right],\eta =\left[y_{j}\right],\liminf _{i,j\to \infty }(x_{i},y_{j})_{o}\geq r\right\}}$

mit ${\displaystyle \xi \in \partial _{\infty }X,r\geq 0}$.

Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion

${\displaystyle (.,.)_{o}\colon \partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\to \left[0,\infty \right]}$

fortsetzen.

Literatur

• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4.