Gromov-Produkt

In der Mathematik ist das Gromov-Produkt, benannt nach Michail Leonidowitsch Gromow, ein Konzept aus der Theorie der metrischen Räume. Anschaulich misst es, wie lange zwei in einem Punkt startende Geodäten "nahe beieinander" bleiben.

Definition

Es sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle x,y,z\in X}$. Das Gromov-Produkt von ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle x}$ ist definiert als

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.}$

Beispiel eines metrischen Baumes, alle Kanten haben Länge 1.

Euklidische Ebene: ${\displaystyle (A,B)_{C}=p}$

Beispiele

Bäume

In einem metrischen Baum ist ${\displaystyle (y,z)_{x}}$ genau die Länge der Schnittmenge der (eindeutigen) kürzesten Verbindungen von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ und von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle z}$. Im Bild rechts (alle Kanten sollen Länge 1 haben) ist

${\displaystyle (b,w)_{m}=0,(b,i)_{m}=1,(e,i)_{m}=2}$.

Euklidische Ebene

Für ein Dreieck ABC in der euklidischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ist ${\displaystyle (A,B)_{C}}$ gerade die Länge des Abschnittes auf der Strecke ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ (oder ${\displaystyle {\overline {BC}}}$) von ${\displaystyle C}$ bis zum Berührpunkt der Strecke mit dem Inkreis des Dreiecks. Im Bild rechts unten ist ${\displaystyle (A,B)_{C}=p}$.

Eigenschaften

• Symmetrie: ${\displaystyle (y,z)_{x}=(z,y)_{x}}$.

• Degeneration in Endpunkten: ${\displaystyle (y,z)_{y}=(y,z)_{z}=0}$.

• Für alle ${\displaystyle p,q,x,y}$ und ${\displaystyle z}$,

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},}$

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},}$

${\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),}$

${\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).}$

• Das Gromov-Produkt misst, wie lange Geodäten nahe beieinander bleiben: wenn ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle z}$ drei Punkte eines ${\displaystyle \delta }$-hyperbolischen metrischen Raumes sind, dann entfernen sich die Segmente der Länge ${\displaystyle (y,z)_{x}}$ der beiden Geodäten von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ und von ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle z}$ nicht mehr als Abstand ${\displaystyle 2\delta }$ voneinander.

• Ein metrischer Raum ist genau dann ${\displaystyle \delta }$-hyperbolisch, wenn für alle ${\displaystyle p,x,y}$ und ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle X}$ gilt

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

Gromov-Rand

Der Gromov-Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\subset X}$ mit ${\displaystyle \lim _{i,j\to \infty }(x_{i},x_{j})_{0}=\infty }$ (sogenannten zulässigen Folgen, anschaulich handelt es sich um gegen unendlich divergierende Folgen) bzgl. der Äquivalenzrelation

${\displaystyle (x_{n})_{n\in N}\sim (y_{n})_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim(x_{n},y_{n})_{o}=\infty }$

für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt ${\displaystyle o\in X}$. Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis

${\displaystyle U(\xi ,r):=\left\{\eta \in \partial _{\infty }X:\exists (x_{i}),(y_{j})\ s.d.\ \xi =\left[x_{i}\right],\eta =\left[y_{j}\right],\liminf _{i,j\to \infty }(x_{i},y_{j})_{o}\geq r\right\},\xi \in \partial _{\infty }X,r\geq 0}$

Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion

${\displaystyle (.,.)_{o}\colon \partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\to \left[0,\infty \right]}$

fortsetzen.

Literatur

• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4