Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Aussagen

Es seien ${\displaystyle \sum _{k}a_{k}}$ und ${\displaystyle \sum _{k}b_{k}}$ zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, ${\displaystyle a_{k}>0}$ und ${\displaystyle b_{k}>0}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$). Dann gilt

• Ist ${\displaystyle \limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty }$ und konvergiert die Reihe ${\displaystyle \sum b_{k}}$, so konvergiert auch ${\displaystyle \sum a_{k}}$.
• Ist ${\displaystyle \liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}>0}$ (das ist äquivalent zu ${\displaystyle \limsup {\frac {b_{k}}{a_{k}}}<\infty }$), so folgt analog aus der Konvergenz von ${\displaystyle \sum a_{k}}$ die Konvergenz von ${\displaystyle \sum b_{k}}$.
• Gilt zugleich ${\displaystyle 0<\liminf {\frac {a_{k}}{b_{k}}}\leq \limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty }$, so haben ${\displaystyle \sum a_{k}}$ und ${\displaystyle \sum b_{k}}$ das gleiche Konvergenzverhalten.

Insbesondere gilt:

• Konvergiert die Folge ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{b_{k}}}}$ gegen einen Wert ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle 0<c<\infty }$, so konvergiert die Reihe ${\displaystyle \sum a_{k}}$ genau dann, wenn die Reihe ${\displaystyle \sum b_{k}}$ konvergiert.

Beweis

Ist ${\displaystyle \limsup {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<\infty }$, so ist ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{b_{k}}}<C}$ und daher ${\displaystyle a_{k}<C\,b_{k}}$ für ein geeignetes ${\displaystyle C}$ und alle genügend großen ${\displaystyle k}$. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe ${\displaystyle \sum b_{k}}$ die Konvergenz von ${\displaystyle \sum a_{k}}$.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 204-205
• Ed Barbeau: Fallacies, Flaws, and Flimflam. In: The College Mathematics Journal, Vol. 38, No. 2, März 2007, S. 131–134, JSTOR 27646447
• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 978-0-8176-8289-7, S. 50
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5, Dezember 2012, S. 374–375, doi:10.4169/math.mag.85.5.374
• Michele Longo, Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3, Juni 2006, S. 205–210 (JSTOR 27642937)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: limit comparison test. In: MathWorld (englisch).
• Oswald Riemenschneider: Analysis II (PDF) Skript, Uni Hamburg, Satz 16.33
• Pauls Online Notes on Comparison Test