Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten (z. B. ${\displaystyle a=b}$). Folglich sind auch die beiden Winkel (rot) gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an der Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.^[1]

Schließen die beiden Schenkel, die sich an der Spitze das Dreiecks schneiden, den Winkel ${\displaystyle \gamma =36^{\circ }}$ oder den Winkel ${\displaystyle \gamma =108^{\circ }}$ ein, so handelt es sich um Goldenes Dreieck. Im ersten Fall ist es ein Goldenes Dreieck erster Art und im zweiten Fall um ein Goldenes Dreieck zweiter Art.

Stimmen sogar die Längen der Basis und der beiden Schenkel überein, so liegt ein gleichseitiges Dreieck vor.

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Im gleichschenkligen Dreieck ist bei gegebenen zwei Seiten das Dreieck nur dann bestimmt, wenn eine der gegebenen Seiten weniger als halb so lang wie die andere. In diesem Fall ist die kurze Seite wegen der Dreiecksungleichung immer die Basis. Dadurch ergibt sich dann indirekt eine Bestimmtheit durch drei gegebene Seiten. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

${\displaystyle \textstyle 2\alpha +\gamma =180^{\circ }}$

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Gleichschenkliges Dreieck mit Symmetrieachse Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt Seitenhalbierende und Schwerpunkt Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und die Formel von Brahmagupta für Sehnenvierecke.

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

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  Quadratische Pyramide
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  Regelmäßige fünfseitige Pyramide
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  Dreiseitige regelmäßige Doppelpyramide
• 
  Quadratische Doppelpyramide
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  Triakistetraeder
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  (c) Cyp, CC BY-SA 3.0
  Triakisoktaeder
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  Tetrakishexaeder
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  Pentakisdodekaeder
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  Triakisikosaeder

• Dreieck
• Gleichseitiges Dreieck
• Rechtwinkliges Dreieck
• Spitzwinkliges Dreieck
• Stumpfwinkliges Dreieck
• Schenkeltransversalensatz (Lehrsatz über gleichschenklige Dreiecke)

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik (= Edition Harri Deutsch). 10., überarbeitete Auflage. Verlag Europa–Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5789-1, S. 136 ff. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 85 ff. (Eintrag 1301.00003 in der Datenbank zbMATH Open). 
• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u. a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961). 
• Johannes Kratz: Geometrie (= Mathematik für Gymnasien. Band 4). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuch Verlag, München 1966, S. 44 ff. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Harald Scheid [Bearbeiter]: DUDEN Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2, S. 112 ff. 

Commons: Gleichschenkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Isosceles Triangle. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ ^{a b c} Jürgen Köller: Gleichschenkliges Dreieck. Höhe und Radius des Inkreises. Abgerufen am 8. Juni 2019.