Gitter (Mathematik)

Ausschnitt eines Gitters. Die blauen Punkte gehören zum Gitter.

Ein Gitter (engl. lattice) in der Mathematik ist eine diskrete Untergruppe des euklidischen Raums. Gitter finden Verwendung u. a. in der Gruppentheorie, der Geometrie und bei Approximationsfragestellungen.

Die einzelnen Elemente eines Gitters heißen Gitterpunkte oder Gittervektoren.

Gitter im euklidischen Raum

Es seien linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums . Dann nennt man

ein Gitter mit Basis vom Rang . Die aus den Vektoren gebildete Matrix heißt Basismatrix von . Die Basis ist durch das Gitter nicht festgelegt. Jede Basis von hat jedoch denselben Rang . Als Untergruppe der additiven Gruppe von ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang .

Die beschränkte Menge

heißt Grundmasche oder Fundamentalmasche von . Sie spannt im einen -dimensionalen Untervektorraum

auf und bildet darin ein rechtsoffenes -dimensionales Parallelepiped. Die Basis des Gitters ist eine Basis dieses Vektorraums.

Durch das Gitter wird auf eine Äquivalenzrelation wie folgt definiert:

.

Jedes Element von ist zu genau einem Element aus der Grundmasche äquivalent. Jede Äquivalenzklasse hat also genau einen Repräsentanten in der Grundmasche.

Zu einem gibt es kein mit . Da sich das Interessante also nur im Unterraum abspielt und dieser isomorph zu ist, betrachten die meisten Autoren nur den Fall der Gleichheit (Gitter mit vollem Rang).

In diesem Fall kann der ganze mit Maschen der Form der Grundmasche parkettiert werden. Jedoch sind auch Formen interessant, die kein Parallelepiped sind. Man spricht dann von einer Fundamentalregion.

Ein Gitter heißt ganz, falls für alle das Skalarprodukt eine ganze Zahl ist. Ist sogar für alle , so nennt man das Gitter gerade (gerade Gitter sind automatisch ganz).

Beispiele:

  1. Das Gitter in der Abbildung hat die Basisvektoren und . Es ist weder ganz noch gerade.
  2. Das Gitter mit Basisvektoren und ist sowohl ganz als auch gerade.

Gitter in der komplexen Zahlenebene

Indem man die komplexe Zahlenebene als reellen Vektorraum auffasst, kann man von Gittern in sprechen; sie sind freie abelsche Gruppen vom Rang 2. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven.

Ist allgemeiner eine natürliche Zahl, so stehen Gitter im reell -dimensionalen Raum in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.

Gitter in Lie-Gruppen

Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe heißt diskrete Untergruppe, wenn es zu jedem eine offene Umgebung mit

gibt.

Wenn eine lokalkompakte Gruppe mit Haarschem Maß ist, dann heißt eine diskrete Untergruppe ein Gitter, falls der Quotient endliches Volumen (bzgl. des Haarschen Maßes) hat.

Ein Gitter heißt uniform oder kokompakt, falls kompakt ist.

Gitter in Lie-Gruppen spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Geometrisierungsprogramm.

Beispiele

  • Sei das zur Basismatrix gehörige Gitter vom Rang 2. Dann ist .
  • Sei . Dann ist die Grundmasche von der -dimensionale Hyperwürfel , und es gilt z. B. .
  • Der Ring der gaußschen Zahlen ist ein Gitter in .
  • Der Ring der Hurwitzquaternionen ist ein Gitter im Schiefkörper der Quaternionen.
  • Das Leech-Gitter ist ein besonderes Gitter im

Gitterdiskriminante

Eine Kenngröße zur Klassifikation von Gittern ist die Gitterdiskriminante. Sie berechnet sich als Volumen der Grundmasche.

Bei Gittern im euklidischen Raum mit der Basismatrix entspricht dies der Formel

Hat vollen Rang, so lässt sich dies zu folgendem Ausdruck vereinfachen:

Als Invariante ist der Wert der Gitterdiskriminante unabhängig von der gewählten Basis.

Gitterreduktion

Die Gitterreduktion ist das Problem, aus einer gegebenen Gitterbasis eine Basis mit gewissen Eigenschaften zu berechnen, wie zum Beispiel eine Basis mit kurzen, nahezu orthogonalen Vektoren. Der LLL-Algorithmus (nach Lenstra, Lenstra und Lovász) berechnet in polynomieller Zeit eine sogenannte LLL-reduzierte Basis, mit deren Hilfe man beweisbar kurze Gittervektoren erhält. In der Tat liegt die Länge des ersten Vektors einer LLL-reduzierten Basis nahe an der Länge des kürzesten nichttrivialen Gittervektors.

Der LLL-Algorithmus hat zahlreiche Anwendungen in der Kryptoanalyse von asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren wie dem RSA-Kryptosystem und dem Merkle-Hellman-Kryptosystem gefunden.

Literatur

  • Gudrun Susanne Wetzel: Lattice basis reduction algorithms and their applications. Shaker Verlag, Aachen 1998, ISBN 3-8265-4543-5.
  • John Horton Conway, Neil Sloane: Sphere packings, lattices and groups. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290, Springer, 3. Auflage 1999, ISBN 0-387-98585-9.
  • Phong Q. Nguyen, Jacques Stern: The two faces of lattices in cryptology. In: Joseph Silverman (Hrsg.): Cryptography and lattices (Proceedings CALC 2001), Lecture Notes Computer Science 2146, Springer 2001, S. 146–180
  • Daniele Micciancio, Shafrira Goldwasser: Complexity of lattice problems. A cryptographic perspective. Kluwer Academic & Springer 2002, ISBN 978-0-7923-7688-0.
  • Phong Q. Nguyen, Brigitte Vallée (Hrsg.): The LLL algorithm. Survey and applications. Reihe Information Security and Cryptography, Springer 2010, ISBN 978-3-642-02294-4.

Weblinks

Siehe auch

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Lattice in R2.svg
Autor/Urheber: Stefan Friedrich Birkner, Lizenz: CC BY-SA 3.0
A lattice in the eucledian plane.