Geschlecht (algebraische Kurve)

In der Mathematik ist das Geschlecht eine Invariante algebraischer Kurven.

Es ist definiert als

${\displaystyle g:=\dim H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$,

wobei ${\displaystyle X}$ die algebraische Kurve, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ die Garbe ihrer holomorphen Funktionen und ${\displaystyle H^{1}}$ die erste Garbenkohomologie ist. Man kann zeigen, dass diese für eine projektive Kurve stets endlich-dimensional ist.

Für eine in der projektiven Ebene durch ein Polynom vom Grad ${\displaystyle d}$ gegebene Kurve ist

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

wobei ${\displaystyle s}$ die (mit Vielfachheiten gezählte) Anzahl der Singularitäten ist.

Für eine singularitätenfreie algebraische Kurve stimmt das Geschlecht mit dem topologischen Geschlecht der entsprechenden Riemannschen Fläche überein.

Algebraische Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle 0}$ sind rationale Kurven. Algebraische Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$ sind Elliptische Kurven.

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen des Geschlechts für algebraische Flächen, darunter das in Analogie zum Geschlecht Riemannscher Flächen definierte geometrische Geschlecht ${\displaystyle p_{g}}$ und das in Analogie zum Geschlecht algebraischer Kurven definierte arithmetische Geschlecht ${\displaystyle p_{a}}$. Die Differenz ${\displaystyle p_{g}-p_{a}}$ ist eine topologische Invariante und verschwindet für singularitätenfreie Flächen.

Siehe auch

• Satz von Riemann-Roch

Literatur

• O. Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977