Generischer Punkt

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Ein Punkt ${\displaystyle \eta }$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ heißt generisch, wenn ${\displaystyle X}$ der Abschluss der Teilmenge ${\displaystyle \{\eta \}}$ ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass ${\displaystyle \eta }$ in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften

• Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
• Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T₀, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
• In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
• Ist ${\displaystyle x}$ ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes ${\displaystyle X}$, so ist der Abschluss von ${\displaystyle \{x\}}$ in ${\displaystyle X}$ eine irreduzible Teilmenge ${\displaystyle Y}$ von ${\displaystyle X}$, und ${\displaystyle x}$ ist ein generischer Punkt von ${\displaystyle Y}$.

Beispiel aus der algebraischen Geometrie

Ist ${\displaystyle A}$ ein Integritätsring, so ist das Nullideal ${\displaystyle \{0\}}$ der (einzige) generische Punkt des Spektrums ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von ${\displaystyle A}$.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Ist ${\displaystyle X}$ ein irreduzibles Schema und ${\displaystyle \eta }$ sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von ${\displaystyle X}$ äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für ${\displaystyle \eta }$. Ist beispielsweise ${\displaystyle M}$ eine kohärente Garbe auf ${\displaystyle X}$, so ist ${\displaystyle M_{\eta }=0}$ äquivalent zu ${\displaystyle M_{x}=0}$ für alle ${\displaystyle x}$ in einer geeigneten offenen Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

Verwandte Begriffe

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.