Gefärbtes Jones-Polynom

Das gefärbte Jones-Polynom ist eine Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie. Es hängt von einem Parameter ab und ordnet einer Verschlingung ein Laurent-Polynom in einer Variablen zu. Für erhält man das Jones-Polynom.

Definition

Das gefärbte Jones-Polynom ist die der N-dimensionalen irreduziblen Darstellung von entsprechende Quanteninvariante. Explizit wird sie mit der R-Matrix

und dem durch gegebenen Isomorphismus konstruiert, siehe Quanteninvariante#Konstruktion via R-Matrizen. Hierbei ist und .

Alternativ kann man als das Jones-Polynom der aus zu parallelen Verschlingungen bestehenden Verschlingung definieren. Dieser Ansatz ist aber für konkrete Berechnungen völlig unpraktikabel, weil die Zahl der Überkreuzungen quadratisch in wächst.

Beispiel

Das gefärbte Jones-Polynom der Kleeblattschlinge ist

.

Das gefärbte Jones-Polynom des Achterknotens ist

.

Eigenschaften

  • Das gefärbte Jones-Polynom ist multiplikativ unter verbundener Summe: .
  • Das gefärbte Jones-Polynom erfüllt eine Rekurrenzrelation.[1]

Kashaev-Invariante

Die Kashaev-Invariante ist der Wert des gefärbten Jones-Polynoms an der N-ten Einheitswurzel:

.

Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen der Kashaev-Invariante und dem komplexen Volumen eines hyperbolischen Knotens her.

Literatur

  • Wladimir Turajew: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Second revised edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 18. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010. ISBN 978-3-11-022183-1
  • P. M. Melvin, H. R. Morton: The coloured Jones function. Comm. Math. Phys. 169 (1995), no. 3, 501–520.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Garoufalidis, Stavros; Lê, Thang T. Q. The colored Jones function is q-holonomic. Geom. Topol. 9 (2005), 1253–1293