Gauß-Test

Der Gauß-Test oder Z-Test ist in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit standardnormalverteilter Testprüfgröße unter der Nullhypothese. Der Test ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.

Mit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.

Der Gauß-Test folgt einer ähnlichen Methode wie der t-Test. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein. Des Weiteren verwendet der Gauß-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Kennwerteverteilung, während der t-Test auf die t-Verteilung zurückgreift. Somit ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

Mathematische Grundlagen

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{X}}$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{X}}$, so ist ihr arithmetisches Mittel

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

normalverteilt mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{X}}$ und Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{X}/{\sqrt {n}}}$.

Die Stichprobenfunktion

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}}$

ist dann unter der Nullhypothese ${\displaystyle \mu _{X}=\mu _{0}}$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

Die Teststatistik kann geschrieben werden als:

${\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}=X+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}}$,

also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ plus eine Zahl, die auf standardisierte Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.

Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{m}}$ mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{Y}}$, Standardabweichung ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ und arithmetischem Mittel

${\displaystyle {\bar {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}Y_{i}}$

vor, die zusätzlich unabhängig von der ${\displaystyle X}$-Stichprobe sind, so ist ${\displaystyle {\bar {X}}-{\bar {Y}}}$ normalverteilt mit Erwartungswert ${\displaystyle \mu _{X}-\mu _{Y}}$ und Standardabweichung ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}$.

Die Stichprobenfunktion

${\displaystyle Z={\frac {({\bar {X}}-{\bar {Y}})-\delta }{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}}$

ist dann unter der Nullhypothese ${\displaystyle \mu _{X}-\mu _{Y}=\delta }$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

Einstichproben-Gauß-Test

Anwendung

Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Stichprobe ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ bestehe aus den Ausprägungen unabhängiger Zufallsvariablen und entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und bekannter Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu =\mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}}$
• rechtsseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu >\mu _{0}}$
• linksseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu <\mu _{0}}$

Der Wert von ${\displaystyle \mu _{0}}$ wird vom Anwender vorgegeben.

Berechnung der Testprüfgröße

Mit dem Stichprobenmittelwert ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ berechnet man die Testprüfgröße ${\displaystyle z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\sigma }}}$.

Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

Anwendung

Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die unabhängigen Stichproben ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ und ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}}$ sollen auch untereinander unabhängig sein und normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten ${\displaystyle \mu _{X}}$ bzw. ${\displaystyle \mu _{Y}}$ und bekannten Standardabweichungen ${\displaystyle \sigma _{X}}$ bzw. ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}=\mu _{0}\!\,}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\neq \mu _{0}}$
• rechtsseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\leq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}>\mu _{0}}$
• linksseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\geq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}<\mu _{0}}$

Der Wert von ${\displaystyle \mu _{0}}$ wird vom Anwender vorgegeben.

Berechnung der Testprüfgröße

Mit den Stichprobenmittelwerten ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ und ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}y_{i}}$ berechnet man die Testprüfgröße ${\displaystyle z={\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}}$.

Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben

Anwendung

Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ von Messwerten vorliegen, wie man sie z. B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Differenzen ${\displaystyle d_{i}=x_{i}-y_{i}}$ sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und bekannter Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$ entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu =\mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}}$
• rechtsseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu >\mu _{0}}$
• linksseitigen Test: ${\displaystyle H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}\colon \mu <\mu _{0}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$ wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ (${\displaystyle H_{1}}$) getestet, dann ist ${\displaystyle \mu _{0}=0}$.

Berechnung der Testprüfgröße

Die Differenzen ${\displaystyle d_{i}}$ bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel ${\displaystyle {\bar {d}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}}$. Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße ${\displaystyle z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {d}}-\mu _{0}}{\sigma }}}$.

Entscheidung über die Hypothesen

Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für Hypothesentests angewendet. Da ${\displaystyle Z}$ unter der Nullhypothese eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, erhält man die folgenden Regeln.

Ablehnung von ${\displaystyle H_{0}}$ (d. h. Annahme von ${\displaystyle H_{1}}$) zum Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$, falls gilt:

• beim zweiseitigen Test: ${\displaystyle |z|>u(1-\alpha /2)}$ (dies ist das ${\displaystyle (1-\alpha /2)}$-Quantil der Standardnormalverteilung)
• beim rechtsseitigen Test: ${\displaystyle z>u(1-\alpha )}$
• beim linksseitigen Test: ${\displaystyle z<u(\alpha )}$

Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen

Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

Beispiel

Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit ${\displaystyle \sigma =2}$. Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d. h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).

Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:

ohne Gabe von P   xi  12 13 10 12 14 11 14 18 15 13 15 13 11 17 11 12 13 14 15 13 14 13
mit Gabe von P    yi  13 14 13 17 13 16 16 19 17 15 17 15 15 20 15 15 14 15 13 15 16 15

Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):

• ${\displaystyle u(1-\alpha /2)=u(0{,}975)=1{,}960}$
• ${\displaystyle u(1-\alpha )=u(0{,}95)=1{,}645}$
• ${\displaystyle u(\alpha )=u(0{,}05)=-1{,}645}$

Für die Mittelwerte berechnet man ${\displaystyle {\bar {x}}=13{,}32}$ und ${\displaystyle {\bar {y}}=15{,}36}$.

• 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.

Verfahren: rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test

${\displaystyle H_{0}:\mu \leq \mu _{0}=15}$ und ${\displaystyle H_{1}:\mu >15\!\,}$

${\displaystyle z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {15{,}36-15}{2}}=0{,}84<1{,}645}$

Entscheidung: H₀ wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.

• 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.

Verfahren: zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

${\displaystyle H_{0}:\mu _{x}-\mu _{y}=\mu _{0}=0\!\,}$ und ${\displaystyle H_{1}:\mu _{x}\neq \mu _{y}}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {22}}\cdot {\frac {|13{,}32-15{,}36|}{2\cdot {\sqrt {2}}}}=3{,}38>1{,}960}$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.

Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit ${\displaystyle \sigma =1{,}6}$. In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.

• 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.

Verfahren: linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben

${\displaystyle H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=-1{,}25}$ und ${\displaystyle H_{1}:\mu <-1{,}25\!\,}$

${\displaystyle {\bar {d}}={\bar {x}}-{\bar {y}}=-2{,}045}$

${\displaystyle z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {-2{,}045+1,25}{1{,}6}}=-2{,}33<-1{,}645}$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.

Siehe auch

• t-Test
• Varianzanalyse

Literatur

• Rönz/Strohe (Hrsg.): Lexikon Statistik. Gabler, 1994, ISBN 978-3-409-19952-0.
• Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Kap. 20. Vieweg und Teubner, 2. Aufl. 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.
• Cramer/Kamps: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. S. 271ff. Springer, 2. Aufl. 2008, ISBN 978-3-540-77760-1.