Fundamentalklasse

In der Mathematik bezeichnet man als Fundamentalklasse einen Erzeuger der höchsten Homologiegruppe einer Mannigfaltigkeit. Im Falle triangulierter Mannigfaltigkeiten kann man die Fundamentalklasse durch die formale Summe der kohärent orientierten Simplizes der Triangulierung repräsentieren.

Zykel, welche die Fundamentalklasse repräsentieren (d. h., deren Homologieklasse die Fundamentalklasse ist), werden als Fundamentalzykel bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]}$.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als relative Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M,\partial M\right]}$.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, nicht notwendig orientierbare, ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

und man bezeichnet den Erzeuger (d. h. das nichttriviale Element) als ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Fundamentalklasse.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt

${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus \left\{x\right\};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

für jeden Punkt ${\displaystyle x\in M}$. Falls ${\displaystyle M}$ geschlossen und orientierbar ist, dann ist

${\displaystyle i_{*}\colon H_{n}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n}(M,M\setminus \left\{x\right\};\mathbb {Z} )}$

ein Isomorphismus und man bezeichnet das Bild der Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]}$ unter ${\displaystyle i_{*}}$ als lokale Orientierung in ${\displaystyle x}$.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jeder kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subset M}$ eine Homologieklasse

${\displaystyle \left[M\right]_{K}\in H_{n}(M,M\setminus K;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

so dass jede Inklusion ${\displaystyle K_{1}\to K_{2}}$ kompakter Teilmengen die Klasse ${\displaystyle \left[M\right]_{K_{2}}}$ auf ${\displaystyle \left[M\right]_{K_{1}}}$ abbildet.

Die kanonische Kronecker-Paarung zwischen Homologie und Kohomologie lässt sich im Fall ${\displaystyle n}$-dimensionaler, geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten wie folgt interpretieren. Sei die Kohomologieklasse ${\displaystyle \beta \in H^{n}(M;\mathbb {R} )}$ in De-Rham-Kohomologie repräsentiert durch die Differentialform ${\displaystyle \omega }$, dann ist

${\displaystyle \langle \beta ,\left[M\right]\rangle =\int _{M}\omega }$.

M. J. Greenberg, J. R. Harper: Algebraic topology, Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc. Advanced Book Program, 1981

• Fundamental class (Encyclopedia of Mathematics)