Fuchssche Gruppe

Unter Fuchsschen Gruppe versteht man gewisse Untergruppen der ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {R} )}$. Fuchssche Gruppen spielen insbesondere in der Theorie der Modulformen eine bedeutende Rolle. Der Begriff Fuchssche Gruppe geht auf den Berliner Mathematiker Lazarus Immanuel Fuchs zurück und wurde wohl erstmals von Henri Poincaré verwendet.

Definition

Eine Fuchssche Gruppe ist eine diskrete Untergruppe der ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {R} )}$, d. h. mit anderen Worten, dass sie aus orientierungserhaltenden Isometrien der oberen komplexen Halbebene besteht.

Beispiel

Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel einer Fuchsschen Gruppe ist die Modulgruppe ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {Z} )}$. Weitere bekannte Beispiele sind Kongruenzuntergruppen. Man beachte, dass für einen beliebigen Zahlkörper ${\displaystyle K\neq \mathbb {Q} }$ mit Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ die Gruppe ${\displaystyle PSL(2;{\mathcal {O}}_{K})}$ niemals Fuchssch ist, weil ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liegt.

Typen Fuchsscher Gruppen

Man unterscheidet Fuchssche Gruppen erster und zweiter Art. Ein entscheidender Unterschied dieser beiden Typen von Fuchsschen Gruppen ist die geometrische Struktur ihrer Fundamentalbereiche. Eine endlich erzeugte Fuchssche Gruppe ist genau dann eine Fuchssche Gruppe erster Art, wenn das hyperbolische Volumen ihres Fundamentalbereiches endlich ist.

Siehe auch

• Kleinsche Gruppe
• Quasifuchssche Gruppe

Literatur

• Donal O’Shea: Poincarés Vermutung. Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers. S. Fischer, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-10-054020-1.
• Toshitsune Miyake: Modular Forms. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-50268-8.
• Svetlana Katok: Fuchsian Groups. The University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1992, ISBN 0-226-42583-5.