Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition

Sei ${\displaystyle V}$ ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion ${\displaystyle \varrho \colon V\to \mathbb {R} }$, die für ${\displaystyle x,y\in V}$ folgende Bedingungen erfüllt:

1. ${\displaystyle \varrho (x)=\varrho (-x)}$
2. ${\displaystyle \varrho (x)\geq 0}$, wobei ${\displaystyle \varrho (x)=0\iff x=0}$
3. ${\displaystyle \varrho (x+y)\leq \varrho (x)+\varrho (y)}$

Das heißt, ${\displaystyle \varrho }$ ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele

• Jede Norm ${\displaystyle x\mapsto \|x\|}$ auf ${\displaystyle V}$ ist eine Fréchet-Metrik, denn ${\displaystyle \|\cdot \|}$ erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ die Fréchet-Metrik
  ${\displaystyle \varrho (x):={\frac {|x|}{1+|x|}}}$
  keine Norm, da sie nicht homogen ist.
• Ist ${\displaystyle (p_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit der Eigenschaft
  ${\displaystyle p_{k}(x)=0\,}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} \Longrightarrow x=0,}$
  dann wird durch
  ${\displaystyle \varrho (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {p_{k}(x)}{1+p_{k}(x)}}}$
  eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
• Die ${\displaystyle L^{p}}$-Räume für ${\displaystyle 0<p<1}$ ausgestattet mit der Fréchet-Metrik
  ${\displaystyle \varrho _{p}(f):=\int _{\Omega }\left\|f(x)\right\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)}$
  sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.^[1]

Anwendungen

• Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge ${\displaystyle d(x,y):=\varrho (x-y)}$. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
• Umgekehrt gilt: Jede Metrik ${\displaystyle d}$ auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. ${\displaystyle d(x+c,y+c)=d(x,y)}$, entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
• Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
• Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

• H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Einzelnachweise

1. ↑ H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.