Fréchet-Verteilung
Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.
Verteilungs und Dichtefunktion
Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter >0 die Verteilungsfunktion
Die dazugehörige Dichtefunktion ist
Momente und Median
Im Folgenden sei eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und die Gamma-Funktion.
Median
Der Median ist
Existenz von Momenten
Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn .
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist
- .
Varianz
Die Varianz ist
Schiefe
Die Schiefe ist
Kurtosis
Die Kurtosis ist
Zusammenhang mit anderen Verteilungen
Ist Fréchet-verteilt mit Parameter , so ist Gumbel-verteilt mit Parametern und .
Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.
Anwendung
Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.
Literatur
- J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.
- J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
Einzelnachweise
- mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011
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A plot of the probability density function of the Fréchet distribution.