Formelsammlung Logik

Dies ist eine Formelsammlung zum mathematischen Teilgebiet der Logik.

Aussagenlogik

Logische Werte:

• wahr (true) 1
• falsch (false) 0

Erweiterte Logik:

• unbestimmt (Don’t-Care) X

Aussagen können durch logische Operatoren, auch Junktoren genannt, verknüpft werden. Die üblichen Junktoren sind:

Um die Symbole des Konjunktors und des Disjunktors leicht auseinanderhalten zu können, gibt es die Eselsbrücke mit den drei O: „Oder ist Oben Offen.“ Alternativ merkt man sich "And" (Englisch) für und, sowie "vel" (Latein) für oder.

Verknüpfungen zweier Aussagen

Logische Grundgesetze

Schlussregeln

Prädikatenlogik

Quantoren

p ist Platzhalter für eine prädikatenlogische Aussageform.

Pränexform

${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind im Folgenden Platzhalter für prädikatenlogische Aussageformen. Die Umformungen in Zeilen 1, 2, 4 und 5 der Tabelle gelten nur, wenn x innerhalb von ${\displaystyle \psi }$ nicht frei vorkommt, d. h. wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war). Die letzte Umformung gilt nur, wenn x innerhalb von ${\displaystyle \phi }$ nicht frei vorkommt, d. h. wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war).

Unproblematisch ist das, wenn die Variablen in den Aussageformen ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \psi }$ jeweils unterschiedlich benannt sind.

Minimale Schlussregeln

Quasiordnung

${\displaystyle \vdash }$ ist im Folgenden eine Quasiordnung zwischen Aussagen.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{~}\\\hline A\vdash A\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}A\vdash B\qquad B\vdash C\\\hline A\vdash C\end{array}}}$

Konjunktion

${\displaystyle \top }$ und ${\displaystyle \land }$ werden durch folgende Regeln definiert.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{~}\\\hline A\vdash \top \end{array}}\qquad {\begin{array}{c}A\vdash B\qquad A\vdash C\\\hline A\vdash B\land C\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }}$

Disjunktion

${\displaystyle \bot }$ und ${\displaystyle \lor }$ werden durch folgende Regeln definiert.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{~}\\\hline \bot \vdash A\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}A\vdash C\qquad B\vdash C\\\hline A\lor B\vdash C\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }}$

Heyting-Implikation und -Negation

${\displaystyle \to }$ wird durch die Regel

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}A\land B&\vdash &C\\\hline A&\vdash &B\to C\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }}$

definiert, und ${\displaystyle \lnot }$ per ${\displaystyle \lnot A:=A\to \bot }$.

Es gelten

• ${\displaystyle A\land \lnot A\vdash \bot }$,
• ${\displaystyle \lnot \top \vdash \bot }$ und
• ${\displaystyle \top \vdash \lnot \bot }$.

Ko-Heyting-Implikation und -Negation

Dual zu ${\displaystyle \to }$ und ${\displaystyle \lnot }$ sind ${\displaystyle \setminus }$ und ${\displaystyle \sim }$.

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}A\setminus B&\vdash &C\\\hline A&\vdash &B\lor C\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }}$,

${\displaystyle {\sim }A:=\top \setminus A}$.

Es gelten

• ${\displaystyle \top \vdash A\lor {\sim }A}$
• ${\displaystyle {\sim }\top \vdash \bot }$ und
• ${\displaystyle \top \vdash {\sim }\bot }$.

Beziehung zwischen den Negationen

Es gilt immer ${\displaystyle \lnot A\vdash {\sim }A}$. Gilt auch ${\displaystyle {\sim }A\vdash \lnot A}$, erhält man klassische Logik.

Quantoren

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Abbildung. Eine beliebige Aussage ${\displaystyle A}$ über Elemente von ${\displaystyle Y}$ kann per ${\displaystyle f}$ in eine Aussage über ${\displaystyle X}$-Elemente transformiert werden. Notation: ${\displaystyle A\circ f}$. ${\displaystyle (-\circ f)}$ ist ein Funktor. Seine rechts- und linksadjungierten sind, respektive, All- und Existenzquantor. D.h.

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}A\circ f&\vdash _{X}&B\\\hline A&\vdash _{Y}&\forall _{f}B\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }\qquad {\begin{array}{rcl}C&\vdash _{X}&A\circ f\\\hline \exists _{f}C&\vdash _{Y}&A\end{array}}{\uparrow }{\downarrow }}$.