Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Bezeichner und Schreibweisen

In den allermeisten Fällen gilt:

  1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben beschriftet.
  2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben beschriftet.
  3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der Ebene

Grundlagen

Winkel

Nebenwinkel

Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.
Nebenwinkel.svg

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Scheitelwinkel.svg

Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Wechselwinkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Winkelsummen

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
Die Summe der Innenwinkel in einem -Eck ist immer
Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen -Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl )

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung: Um eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis (in gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von aus, der nicht parallel zu ist. Auf diesem trage man mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt verbinde man mit und zeichne die Parallelen zu durch die bei der Unterteilung von entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit teilen in gleiche Teile.

Flächen und Umfänge

Ein Dreieck mit Standardbezeichnung

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte
und . Die Ecke ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.
Seiten
ist die der Ecke gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für und . Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit bezeichnet.[1]
Winkel
ist der (Innen-)Winkel in Ecke , der Winkel in Ecke und der Winkel in Ecke .
FigurFlächeninhalt AUmfang UBemerkung, Weiteres
Dreieck
Allgemeines Dreieck



Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet.
ist der halbe Umfang, der Umkreisradius und der Inkreisradius.
Gleichseitiges DreieckAlle Seiten sind gleich lang.
Alle Winkel sind gleich groß (60°).
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale
Gleichschenkliges DreieckZwei Seiten sind gleich lang (Schenkel und ); die dritte Seite heißt Basis
Die beiden Basiswinkel ( und ) sind gleich groß.
Die Höhenlinie durch halbiert den Winkel
und die Basis .
Rechtwinkliges Dreieck.
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel.
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden.
Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s. u.)
Viereck
QuadratDiagonale
RechteckDiagonale
Raute (Rhombus) = Diagonalen, = beliebiger Innenwinkel.
Parallelogramm ist die Höhe zur Seite .
Trapez = parallele Seiten, = Mittellinie
symmetrischer Drachen (Deltoid) = Diagonalen.
Sehnenviereck

Viereck mit Umkreis, Umkreisradius ,
halber Umfang; Diagonalen: ,
TangentenviereckViereck mit Inkreis mit Inkreisradius .
Es gilt
Polygone
Regelmäßiges Polygon







  • – Anzahl der Ecken
  • – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
  • – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
  • – Kantenlänge einer Seite des Polygons
Kreis
Kreis
Circle-diameter-radius.svg
Es bezeichnet die Kreiszahl.
Kreisring = Außenradius, = Innenradius
Kreisausschnitt

b = (Winkel im Bogenmaß)
Kreisabschnitt (Segment)
(Winkel im Bogenmaß)
Kegelschnitte
Ellipse

Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant () ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten:
HyperbelKeine geschlossene FlächeKeine geschlossene KurveMenge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten:
ParabelKeine geschlossene FlächeKeine geschlossene KurveMenge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: .

Dreiecksgeometrie

Ausgezeichnete Punkte

Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Seitenhalbierende (Schwerlinien)
    • teilen einander im Verhältnis 2:1.
    • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
    • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.
Winkelhalbierende und Inkreis

Satzgruppe des Pythagoras

  • Satz des Pythagoras
    Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten.
    Sind und die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse, dann gilt:
    [2]
  • Kathetensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse.
    Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
  • Höhensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
    Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
    [2]
    Right triangle abchpq.svg

Dreiecksungleichung

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

  1. drei Seiten (sss)
  2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
  3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
  4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

  1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
  2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
  3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
  4. zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

  1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
  2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

Geometrie der Körper

KörperVolumen VOberfläche OBemerkungen, Weiteres
Prismen
Parallelepiped (Spat)
Parallelepiped.svg
Quader
Quader123.svg
Raumdiagonalenlänge
Allgemeines
Prisma
Mantelfläche
Säulen
Rundsäule (Zylinder)
Hohlzylinder

Außen-,Innenradius

Pyramide
Allgemeine
Pyramide
Pyramidenstumpf Grundfläche
Deckfläche
Kegel
Kreiskegelnur für senkrechte Kegel:
Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe:
gerader Kegelstumpf


Radien
Platonische Körper
Tetraeder
Hexaeder (Würfel)Raumdiagonalenlänge
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Kugel und Kugelteile
Kugel
Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)
Kugelsegment (Kugelabschnitt)mit
Kugelzone
(Kugelschicht)
mit = Durchmesser des unteren Schnittkreises und = Durchmesser des oberen Schnittkreises
Drehkörper
EllipsoidHalbachsen a,b,c
Torus

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

Trigonometrie

siehe: Trigonometrie, Formelsammlung Trigonometrie

Analytische Geometrie

siehe: Analytische Geometrie, Formelsammlung analytische Geometrie

Literatur

  • Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel. 11. überarb. Auflage. Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1913-0.

Einzelnachweise

  1. Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2014, S. 28.
  2. a b Papula: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2014, S. 26.

Auf dieser Seite verwendete Medien

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Quader

AussenwinkelAmDreieck.png
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Darstellung zur Verdeutlichung des Satzes über die Größe des Außenwinkels
Dreieck mit Höhen.png
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Darstellung zur Verdeutlichung des Höhenschnittpunkts bei Dreiecken
Circle-diameter-radius.svg
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Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r), Durchmesser (d) und Umfang (c).
Nebenwinkel.svg
Die Nebenwinkel zweier sich schneidender Geraden
Right triangle abchpq.svg
Right triangle with quantities a,b,c,h,p,q
Kreis2.png
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Darstellung zur Erklärung des Begriffes Kreisbogen und Kreisauschnitt (Sektor)
Wechselwinkel.png
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Darstellung zur Verdeutlichung von Wechselwinkeln
Stufenwinkel.png
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Darstellung zur Verdeutlichung von Stufenwinkeln
Triangle with notations 2.svg
Triangle with notations for sides and angles..
Scheitelwinkel.svg
Die Scheitelwinkel zweier sich schneidender Geraden
Dreieck mit Winkelhalbierende.png
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Darstellung zur Verdeutlichung der Informationen zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bei Dreiecken
Kreis3.png
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Darstellung zur Erklärung des Begriffes Kreisabschnitt (Segment)
Dreieck mit Seitenhalbierende.png
(c) BirgitLachner, CC-BY-SA-3.0
Darstellung zur Verdeutlichung der Informationen zum Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bei Dreiecken