Fixpunktsatz von Schauder

Der Fixpunktsatz von Schauder ist nach dem Mathematiker Juliusz Schauder benannt und gibt eine hinreichende Bedingung an, unter der eine Abbildung einen Fixpunkt besitzt.^[1] Er stellt eine starke Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer dar, der stetige Funktionen auf konvexen, kompakten Teilmengen endlichdimensionaler Vektorräume behandelt. Andrei Nikolajewitsch Tychonoff bewies den Fixpunktsatz von Schauder für lokalkonvexe Vektorräume. Daher wird diese Version des Satzes auch Fixpunktsatz von Tychonoff bzw. Schauder-Tychonoff genannt.^[2][3][4]

Formulierungen des Satzes

Der schaudersche Fixpunktsatz existiert in mehreren Versionen.

Version für lokalkonvexe Hausdorffräume

Sei ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer, hausdorffscher, topologischer Vektorraum und ${\displaystyle C}$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle E}$. Dann besitzt jede stetige Abbildung ${\displaystyle T\colon C\to C}$ einen Fixpunkt. Da jeder Banachraum ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum ist, umfasst diese Version also schon alle Banachräume.

Version für alle Hausdorffräume

Sei ${\displaystyle E}$ ein hausdorffscher, topologischer Vektorraum und ${\displaystyle C}$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle E}$. Dann besitzt jede stetige Abbildung ${\displaystyle T\colon C\to C}$ einen Fixpunkt.

Beispiele

In unendlich-dimensionalen, lokalkonvexen beziehungsweise normierten Vektorräumen gilt der schaudersche Fixpunktsatz im Allgemeinen nicht für abgeschlossene und beschränkte Mengen ${\displaystyle C}$, das heißt, auf die Voraussetzung der Kompaktheit kann nicht verzichtet werden. Sei ${\displaystyle C}$ die abgeschlossene Einheitskugel des Folgenraums ${\displaystyle \ell ^{2}}$. Da ${\displaystyle \ell ^{2}}$ unendlich-dimensional ist, sind die abgeschlossenen Kugeln nicht mehr kompakt. Sei außerdem ${\displaystyle F\colon C\to C}$ durch
${\displaystyle x=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left({\sqrt {1-\|x\|_{\ell ^{2}}^{2}}},s_{1},s_{2},\ldots \right)}$
definiert. Diese Abbildung ist stetig und bildet nach ${\displaystyle C}$ ab. Besäße sie einen Fixpunkt, so müsste ${\displaystyle s_{1}=s_{2}=\ldots }$ gelten. Die einzige konstante Folge in ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist jedoch die konstante ${\displaystyle 0}$-Folge. Aber es gilt ${\displaystyle F(0)\neq 0}$ und somit hat ${\displaystyle F}$ keine Fixpunkte.

Fordert man jedoch, dass die Abbildung ${\displaystyle T}$ kompakt ist, so gilt der schaudersche Fixpunktsatz auch für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen.

Anmerkungen

Schauder bewies den Fixpunktsatz im Jahr 1930 für normierte Räume.^[1] Für den Fall, dass ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum ist, wurde der Satz 1935 durch Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewiesen,^[5] während Schauder selbst nur einen fehlerhaften Beweis hatte. Robert Cauty konnte 2001 zeigen, dass der Satz sogar für alle hausdorffschen topologischen Vektorräume gilt.^[6] Dies wurde schon von Schauder vermutet, konnte aber bis dato nicht bewiesen werden.

In den bekannten Beweisen wird wesentlich der brouwersche Fixpunktsatz verwendet, dessen Beweis durchaus nichttrivial ist. Als Anwendung kann man den Existenzsatz von Peano aus dem schauderschen Fixpunktsatz ableiten.^[7]

Literatur

Siehe die Auswahl unter Fixpunktsatz.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} J. Schauder: Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen. In: Studia Mathematica. Band 2, Nr. 1, 1930, ISSN 0039-3223, S. 171–180, doi:10.4064/sm-2-1-171-180 (impan.pl [abgerufen am 7. November 2022]). 
2. ↑ Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1974, ISBN 3-540-06888-0, S. 130.
3. ↑ Vittorino Pata: The Schauder-Tychonoff Fixed Point Theorem. In: Fixed Point Theorems and Applications. Band 116. Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03019669-1, S. 53–57, doi:10.1007/978-3-030-19670-7_10 (englisch, springer.com [abgerufen am 7. November 2022]). 
4. ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1985, ISBN 978-3-662-00549-1, doi:10.1007/978-3-662-00547-7 (englisch, springer.com [abgerufen am 7. November 2022]). 
5. ↑ A. Tychonoff: Ein Fixpunktsatz. In: Mathematische Annalen. Band 111, Nr. 1, Dezember 1935, ISSN 0025-5831, S. 767–776, doi:10.1007/BF01472256 (springer.com [abgerufen am 7. November 2022]). 
6. ↑ Robert Cauty: Solution du problème de point fixe de Schauder. In: Fundamenta Mathematicae. Band 170, Nr. 3, 2001, ISSN 0016-2736, S. 231–246, doi:10.4064/fm170-3-2 (französisch, impan.pl [abgerufen am 7. November 2022]). 
7. ↑ Eberhard Zeidler: Applied Functional Analysis (= Jerrold Marsden, L. Sirovich [Hrsg.]: Applied Mathematical Sciences. Band 108). Springer New York, New York, S. 63 ff., doi:10.1007/978-1-4612-0815-0 (englisch). 

Weblinks

• Beweis der Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder (letzteren im Fall von Banachräumen)