Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

Der Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski, benannt nach Czesław Ryll-Nardzewski, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen Fixpunktes einer Familie gewisser Abbildungen einer kompakten, konvexen Menge in sich.

Formulierung des Satzes

Sei ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und ${\displaystyle C\subset E}$ sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine nicht-leere Familie von Abbildungen ${\displaystyle T:C\rightarrow C}$ mit folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle ${\displaystyle T_{1},T_{2}\in {\mathcal {S}}}$ gilt ${\displaystyle T_{1}\circ T_{2}\in {\mathcal {S}}}$.
2. Jedes ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}}$ ist schwach-stetig und affin, letzteres heißt für ${\displaystyle x,y\in C}$ und ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ gilt ${\displaystyle T(\alpha x+(1-\alpha )y)=\alpha T(x)+(1-\alpha )T(y)}$.
3. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x,y\in C}$ liegt 0 nicht im Abschluss von ${\displaystyle \{T(x)-T(y);T\in {\mathcal {S}}\}}$.

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, das heißt: Es gibt ein ${\displaystyle x_{0}\in C}$, so dass ${\displaystyle T(x_{0})=x_{0}}$ für alle ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}}$.

Bemerkungen

• Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
• Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe ${\displaystyle G}$. Der Raum ${\displaystyle E=M(G)}$ der endlichen Borel-Maße auf ${\displaystyle G}$ ist der Dualraum des Raumes ${\displaystyle C(G)}$ der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle G}$, und trägt daher die schwach-*-Topologie, die ${\displaystyle M(G)}$ zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man ${\displaystyle C:=\{\mu \in M(G);\mu \geq 0,\mu (1)=1\}}$. Für ${\displaystyle f\in C(G)}$ und ${\displaystyle x\in G}$ seien ${\displaystyle {\tilde {f}},{}_{x}f,f_{x}\in C(G)}$ durch die Formeln ${\displaystyle {\tilde {f}}(y):=f(y^{-1}),{}_{x}f(y):=f(xy),f_{x}(y):=f(yx)}$ erklärt. Definiere weiter ${\displaystyle S_{0},S_{1},L_{x},R_{x}:M(G)\rightarrow M(G)}$ durch

• ${\displaystyle S_{0}\,:=\,id_{M(G)}}$
• ${\displaystyle S_{1}(\mu )(f)\,:=\,\mu ({\tilde {f}})}$
• ${\displaystyle L_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu ({}_{x}f)}$
• ${\displaystyle R_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu (f_{x})}$

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{S_{i}L_{x}R_{y};i\in \{0,1\},x,y\in G\}}$ eine Halbgruppe von Isometrien, die ${\displaystyle C}$ in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

Quellen

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
• C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61