Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

Der Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski, benannt nach Czesław Ryll-Nardzewski, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen Fixpunktes einer Familie gewisser Abbildungen einer kompakten, konvexen Menge in sich.

Formulierung des Satzes

Sei ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei eine nicht-leere Familie von Abbildungen mit folgenden Eigenschaften:

  1. ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle gilt .
  2. Jedes ist schwach-stetig und affin, letzteres heißt für und gilt .
  3. ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte liegt 0 nicht im Abschluss von .

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von , das heißt: Es gibt ein , so dass für alle .

Bemerkungen

  • Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
  • Die Voraussetzung, dass nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe . Der Raum der endlichen Borel-Maße auf ist der Dualraum des Raumes der stetigen Funktionen auf , und trägt daher die schwach-*-Topologie, die zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man . Für und seien durch die Formeln erklärt. Definiere weiter durch

Dann ist eine Halbgruppe von Isometrien, die in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

Quellen

  • John B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
  • C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61