Filtrierung (Mathematik)

Die Filtrierung, auch Filtration oder Filterung genannt,[1] ist ein Begriff aus der Mathematik, der vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der algebraischen Topologie verwendet wird. Es handelt sich um eine bestimmte Eigenschaft einer Familie von Mengen.

Definition

Eine (aufsteigende) Filtrierung einer Menge (oft zusammen mit einer weiteren Struktur wie einer Topologie, einer algebraischen Struktur oder der Eigenschaft der Messbarkeit) ist eine Familie von Subobjekten und eine total geordnete Indexmenge , sodass gilt:

falls in , dann ist .

Analog verwendet man auch den Begriff der absteigenden Filtrierung, das heißt für .

Manchmal werden zusätzlich noch andere Eigenschaften gefordert, wie beispielsweise bei der Filtrierung einer Algebra, siehe Filtrierung und Algebra.[2][1][3]

Filtrierungen in verschiedenen Strukturen

Gruppen

Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe besteht aus Untergruppen für alle , sodass für alle .

Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls , sie heißt Hausdorff oder separiert, wenn . Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein gibt mit bzw. nach unten beschränkt, falls für ein .[2]

Algebra

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra über einem Körper ist eine Sequenz[4] von Untermoduln von , sodass

,

und die zudem mit der Multiplikation kompatibel ist:

.

Beispiel

  1. Für einen Körper ist der Polynomring in Variablen natürlich filtriert mit .
  2. Jede graduierte Algebra ist filtriert. Sei ein Körper, , wobei "" definiert ist durch die Kommutatorrelation , d. h. ist nicht kommutativ. Dann ist ein Beispiel für eine Algebra, die filtriert ist, aber nicht graduiert.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine Indexmenge.

Dann heißt die Familie von σ-Algebren auf

eine Filtrierung (in oder auf ), falls:

für alle mit gilt .

Ist eine Filtrierung, so wird auch ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Literatur

  • John Michael Boardman, M.D.: Homotopy Invariant Algebraic Structures, AMS SpecialsSession: A Conference in Honor of Mike Boardman (Contemporary Mathematics). American Mathematical Soc.
  • John McCleary: A User’s Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise

  1. a b Filtration. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. a b Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-00756-3, S. 85.
  3. N. Bourbaki: Commutative Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1989, ISBN 978-3-540-64239-8, S. 162.
  4. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, S. 238.