Fibonacci-Folge

Fibonacci-Folge der Zahlen 1 bis 8 über dem Tresen eines Museums-Restaurants, dargestellt mittels Leuchtröhren, deren gegenseitiger Abstand fortlaufend größer wird (Zahlenachse und Zahlen nur als Bildbeschriftung)
Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen
Goldene Spirale, genähert durch Viertelkreise. Das Verhältnis der Radien der Kreissektoren entspricht der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.[1] Danach ist jede Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.[2]

Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.[3]

Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:

  • Aufgrund der Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
  • Zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt besteht eine Verwandtschaft. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes (beispielsweise 13:8 = 1,6250; 21:13 ≈ 1,6154; 34:21 ≈ 1,6190; 55:34 ≈ 1,6176; etc.).
  • Diese Näherung ist alternierend, d. h., die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als .[3]

Definition der Fibonacci-Folge

Die ersten Folgenglieder der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist durch das rekursive Bildungsgesetz

  für  

mit den Anfangswerten

definiert.[Anm 1] Das bedeutet in Worten:

  • Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert vorgegeben.
  • Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.

Daraus ergibt sich:

nfnnfnnfnnfnnfn
1111892110 946311 346 26941165 580 141
21121442217 711322 178 30942267 914 296
32132332328 657333 524 57843433 494 437
43143772446 368345 702 88744701 408 733
55156102575 025359 227 465451 134 903 170
681698726121 3933614 930 352461 836 311 903
713171 59727196 4183724 157 817472 971 215 073
821182 58428317 8113839 088 169484 807 526 976
934194 18129514 2293963 245 986497 778 742 049
1055206 76530832 04040102 334 1555012 586 269 025

Aus der Forderung, dass die Rekursion

auch für ganze Zahlen gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt:

für alle

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

13−85−32−11011235813

und heißt Folge der negaFibonacci-Zahlen.[4]

Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen[5] und auf Vektorräume möglich.

Eigenschaften

Zu den zahlreichen bemerkenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört, dass sie dem Benfordschen Gesetz genügen.[6]

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, kommen die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt

beliebig nahe. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große Zahlen :

Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung:

mit der -Notation aus dem Artikel Kettenbruch.

Da diese Quotienten gegen den Goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche periodische Kettenbruch:

darstellen. Die Zahl ist irrational. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen und beliebige natürliche Zahlen annehmen.

Beziehungen zwischen den Folgengliedern

Identitäten:

  • mit der Lucas-Folge (mit ), insbesondere:
  • (Identität von Catalan)
  • (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität)
  • (Identität von d’Ocagne)

Teilbarkeit:

  • Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. .
  • ; für gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann für nur dann eine Primzahl sein, wenn eine Primzahl ist.
  • (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
  • (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
  • (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
  • (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
  • (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
  • (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)[7]
Für die Teilbarkeit durch Primzahlen gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols:[8]

Reihen:

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

Reziproke:

  • [9]

Zeckendorf-Theorem

Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes eine eindeutige Darstellung der Form

mit und für alle .[10]

Die entstehende Folge von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Sehr eng hängt damit der Fibonacci-Kode zusammen.

Berechnung

Formel von Moivre-Binet

Die Fibonacci-Folge (rot) als Differenz zweier Folgen mit irrationalen Gliedern (schwarz)

Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern Abraham de Moivre im Jahr 1718 und Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war es aber auch den Mathematikern Leonhard Euler und Daniel Bernoulli bekannt, Letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis.[11]

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels

berechnen, wobei die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung sind. Mit

gilt explizit:

Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier irrationaler Zahlen und , das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt. Die Abbildung zeigt die beiden Folgen und sowie als deren Differenz.

Näherungsformel für große Zahlen

Der Einfluss von geht rasch gegen Null, bspw. ist . Das kann man verwenden, um die Berechnung abzukürzen, indem man den Term für genügend große ignoriert und das Ergebnis zur nächsten natürlichen Zahl rundet:

        (Gaußsche Rundungsklammer )

Tatsächlich geht das schon für .

Induktiver Beweis

Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen und ist der Induktionsanfang erfüllt. Angenommen, die Formel gelte für alle Werte von bis (starke Induktionsvoraussetzung). Wir zeigen, dass sie dann notwendigerweise auch für gilt:

Dabei haben wir benutzt, dass und der charakteristischen Gleichung genügen.

Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion muss nun die Formel für alle gelten.

Herleitung über ein Eigenwertproblem

Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem Eigenwertproblem in der linearen Algebra hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:

Nun transformiert man die Matrix in eine Diagonalmatrix durch Betrachtung als Eigenwertproblem.

Es gilt , wobei die Matrix der Eigenvektoren und die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt:

Herleitung mittels Differenzengleichung

Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der linearen Differenzengleichungen:

Sei eine geometrische Folge, so ergibt sich:

Wenn also so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung erfüllt ist (also oder ), wird , d. h., erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang und .

Die durch , , rekursiv definierte Folge hat die explizite Darstellung . Ebenso , , .

Mit und genügt wegen der Superpositionseigenschaft auch jede Linearkombination der Fibonacci-Rekursion . Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich und , damit und . Folglich ergibt sich explizit .

Für ergibt sich und , d. h. die klassische Lucas-Folge mit explizit .

Herleitung mittels z-Transformation

Da Differenzengleichungen sehr elegant mittels z-Transformation beschrieben werden können, kann man die z-Transformation auch zur Herleitung der expliziten Formel für Fibonacci-Zahlen einsetzen. Im Artikel Einsatz der z-Transformation zur Bestimmung expliziter Formeln von Rekursionsvorschriften wird die allgemeine Vorgehensweise beschrieben und dann am Beispiel der Fibonacci-Zahlenfolge erläutert.

Alternierende Näherung

Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt:[12]

Herleitung  

Mithilfe der Formel von Moivre-Binet lässt sich eine einfach Herleitung angeben. Denn für die Zahlen der genannten Formel und natürliche gilt:

(1)

, da im Doppelbruch der Darstellung der Folgeglieder mit Moivre-Binet der gemeinsame Nenner verschwindet. – Entsprechend:

(2)

Die Ungleichungen (1) und (2) ergeben zusammen die Behauptung.

Die Differenz dieser oberen und unteren Schranke von konvergiert für wachsende rasch gegen Null wegen

Bei der Vereinfachung des Zählers wurde die Identität von Cassini nebst verwendet.

Erzeugende Funktion

Eine erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen ist

Die auf der linken Seite stehende Potenzreihe konvergiert für . Über die angegebene Partialbruchzerlegung erhält man wieder die Formel von Moivre-Binet.

Herleitung der erzeugenden Funktion  

Für ist

  da

  da und

Die Rekursionsbedingung induziert daher

ausklammern:

Nach Division durch das Polynom das nicht das Nullpolynom ist, folgt die angegebene Form.

Mit einer geeigneten erzeugenden Funktion lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten darstellen:

Wegen für und kann auch ohne Gaußklammern geschrieben werden:

Herleitung  

Die erzeugende Funktion kann auch geschrieben werden:

(1)

für dem Betrage nach hinreichend kleine gilt:

(2)

Gleichsetzen ergibt:

, wobei [] Gaußklammern sind.

Bei der Umformung wurden der binomische Lehrsatz und die Umsummierung mit verwendet.

Koeffizientenvergleich ergibt den angegebenen Zusammenhang.

Die Schreibweise für die erzeugende Funktion erlaubt auch die Darstellung

Herleitung  

In der Darstellung von als unendliche Summe ist der Summand mit verzichtbar, siehe vorherige Herleitung.

Die -te Ableitung der erzeugenden Funktion ist mit der Potenzregel:

Für verschwindet die Summe der letzten Zeile. Für dieses entsteht mit Division durch die Behauptung.

Darstellung mit Matrizen

Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der Matrix auf:

Aus der Relation ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für . beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt das -te Paar aus dem Startpaar . Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von gerade der Goldene Schnitt und dessen Kehrwert (Letzterer mit negativem Vorzeichen) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet.

Verwandtschaft mit dem Pascalschen Dreieck

Die Fibonacci-Zahlen können mithilfe des Pascalschen Dreiecks beschrieben werden. Um die -te Fibonacci-Zahl zu bestimmen, nimmt man aus der -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks jede zweite Zahl und gewichtet sie mit der entsprechenden Fünfer-Potenz – anfangend mit 0 in aufsteigender Reihenfolge, d. h. , , usw. Anschließend addiert man diese gewichteten Elemente zusammen und dividiert durch .

Das Bild unten veranschaulicht die Berechnung der ersten sieben Fibonacci-Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck. Zum leichteren Verständnis sind die nicht benutzten Elemente des Pascalschen Dreiecks im Bild ausgegraut, die Gewichtung mit den aufsteigenden Fünfer-Potenzen rot und die Exponenten cyan hervorgehoben.

FibonacciPascalTriangle.jpg
Herleitung  

Ausgehend von der expliziten Formel für die Fibonacci-Zahlen (s. Formel von Moivre-Binet weiter oben in diesem Artikel)

kann man zunächst den Term im Nenner ausklammern und die verbliebene Differenz mittels Binomialkoeffizienten ausschreiben und anschließend zusammenfassen:

Für die Differenz unter dem Summenzeichen gilt:

sodass man die Summe auf ungerade reduzieren kann:

Der -Term kürzt sich also raus und unter dem Summenzeichen bleiben nur Fünfer-Potenzen. Das erklärt das scheinbare Paradoxon, dass die explizite Formel für Fibonacci-Zahlen mit ihren -Termen überhaupt ganze Zahlen liefert. Die Abrundung in der Summen-Obergrenze ist übrigens notwendig, damit die Indizierung nicht über den Wert hinausgeht und die ursprüngliche Summenbegrenzung eingehalten wird.

Vergleicht man die unter dem Summenzeichen verbliebenen Binomialkoeffizienten mit denen im Pascalschen Dreieck, erkennt man, dass es sich dabei um jeden zweiten Koeffizienten in der entsprechenden Zeile des Dreiecks handelt (wie es im Bild oben visualisiert ist). Man kann die Formel also auch als

schreiben mit der Bezeichnung für einen Binomialkoeffizienten an der -ten Stelle in der -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks (beide ab Null gezählt!). Als Beispiel erhält man für die 7-te Fibonacci-Zahl etwa den Wert

Reihen von Reziproken

Da die Fibonacci-Zahlen exponentiell mit dem Index wachsen, konvergieren die reziproken Reihen absolut.

  • Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit geradem Index[13] lässt sich mithilfe der Lambert-Reihe
  bei  
ausdrücken:[14][Anm 2]
≈ 1,535370508836252985029852896651599
  • Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit ungeradem Index[13] lässt sich durch eine Jacobische Thetafunktion ausdrücken:[15][16]
≈ 1,824515157406924568142158406267328
  • Ebenfalls geschlossen lässt sich die Formel für die Summe darstellen, wenn der Nenner um 1 erhöht wird:
  • Die unendliche Summe der Kehrwerte aller Fibonacci-Zahlen[13][17][18]
≈ 3,359885666243177553172011302918927
ist irrational (André-Jeannin; 1989).[19][20]
  • Die unendliche Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fibonaccizahlen findet sich bei Borwein:[21]
≈ 2,426320751167241187741569412926620
  • Zudem zeigten Good (1974) und Hoggatt (1976):[22]

Verallgemeinerungen

Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert:

  • Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht
  • Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen
  • Beide Startglieder gleich +1

Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung:

  • Die Wahl anderer Startglieder und liefert eine Folge , die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die Lucas-Folge .
Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz:
mit und .
Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort und liefert.
  • Die Wahl anderer Koeffizienten für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift
besitzt die charakteristische Gleichung . Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln und hat, dann lautet das Bildungsgesetz
wobei und wieder durch die Startglieder bestimmt sind.
  • Eine Iteration, die mehr als zwei vorangehende Folgenglieder einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann
.
Beispiele für derartige Folgen sind die Tribonacci- und die Tetranacci-Folge.[23][24] Die Perrin-Folge und die Padovan-Folge folgen der Regel .[25]
Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge.

Fibonacci-Folgen in der Natur

Phyllotaxis

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen
Anordnung gleich großer Kreise im Abstand des goldenen Winkels mit farblicher Markierung der Fibonacci-Spiralen 8, 13, 21, 34

Die Blätter (Phyllotaxis) oder Fruchtstände vieler Pflanzen sind in Spiralen angeordnet, wobei die Anzahl dieser Spiralen den Fibonacci-Zahlen entsprechen. In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel. Das liegt daran, dass Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen. Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und so die Blätter maximalen Schatten auf darunterliegenden Blättern erzeugen oder maximale „Lichtlücken“ entstehen.

Beispielsweise tragen die Körbe der Silberdistel (Carlina acaulis) hunderte gleichgestaltiger Blüten, die in kleineren Körben in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Körben in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Korbboden eingefügt sind.[26] Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie auch von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist.[27]

Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch On Growth and Form von D’Arcy Wentworth Thompson (1917) verwiesen.

Stammbäume

Männchen der Honigbiene (Apis mellifera) werden als Drohnen bezeichnet. Interessanterweise beschreibt die Fibonacci-Folge die Anzahl der Ahnen einer Drohne. Das erklärt sich dadurch, dass eine Drohne (Generation n = 1) sich aus einem unbefruchteten Ei entwickelt, das ausschließlich Erbgut ihrer Mutter, der Bienenkönigin (Generation n = 2), enthält; eine Drohne hat keinen Vater. Eine Königin jedoch hat zwei Eltern, nämlich als Mutter eine andere Königin und als Vater eine Drohne (Generation n = 3) usw. Die Anzahl aller Ahnen einer Drohne in je einer so definierten n-ten Generation ist die n-te Fibonacci-Zahl .

Um das einzusehen, lässt sich die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin. In den Gleichungen der Modellierung ist dann die Anzahl der Drohnen, die Anzahl der Königinnen (jeweils in der n-ten Generation) und die Anzahl der Ahnen einer Drohne in der betrachteten Generation.

Fettsäuren

Unverzweigte aliphatische Monocarbonsäuren (hier: uaM), zu denen im Regelfall die Fettsäuren gehören, können verschieden viele Doppelbindungen an verschiedenen Positionen aufweisen. Die Anzahl der uaM gehorcht als Funktion der Kettenlänge der Fibonacci-Folge.[28] Das folgt daraus, dass Doppelbindungen bei uaM nicht benachbart sind; die seltenen Ausnahmen sind hier vernachlässigt. Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäure, eine mit zwei C-Atomen: Essigsäure, zwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw. Bei 18 C-Atomen ergeben sich 2.584 Varianten (wovon Stearinsäure, Ölsäure, Linolsäure und Linolensäure vier Beispiele sind).

Auch hier lässt sich, um das einzusehen, die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Ein Kaninchenpaar der -ten Generation entspricht dem -ten Kohlenstoffatom einer uaM, wobei die Zählung bei der Carboxygruppe beginnt. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einem Kohlenstoffatom , auf das keine Doppelbindung folgen kann, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einem Kohlenstoffatom , auf das eine Doppelbindung folgen kann (oder nicht). Die Verbindungsstrecken von nach oder von nach entsprechen Einfachbindungen, die Verbindungsstrecken von nach Doppelbindungen. In den Gleichungen der Modellierung ist dann (bzw. ) die Anzahl der Kohlenstoffatome (bzw. ). – Jeder Pfad von zu einem Kohlenstoffatom der -ten Generation entspricht genau einer uaM mit Kohlenstoffatomen; die Zuordnung ist bijektiv. Also ist die Anzahl der in der -ten Generation betrachteten Kohlenstoffatome gleich der Anzahl der uaM mit Kohlenstoffatomen.

Geschichte

Berechnung der Kaninchen­aufgabe im Liber abbaci

Altes Indien

Ihre früheste bekannte Erwähnung findet sich unter dem Namen mātrāmeru („Berg der Kadenz“) in der Chhandah-shāstra („Kunst der Prosodie“) des Sanskrit-Grammatikers Pingala (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.).[29] In ausführlicherer Form behandelten später auch Virahanka (6. Jh.) und besonders dann Acharya Hemachandra (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben.

Antike und Mittelalter in Europa

In der westlichen Welt war diese Folge ebenfalls schon in der Antike Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) bekannt.[30] Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci („figlio di Bonacci“, Sohn des Bonacci), verbunden, der in seinem Liber abbaci („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt:[31]

Die Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell bilden die Fibonacci-Zahlen (Baumdiagramm)
Kaninchen-Population in Fibonaccis Modell, erläutert anhand eines Säulendiagramms

Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln:[Anm 3]

  1. Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.
  2. Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).
  3. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circumdatus“), sodass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Folge, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, sodass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Folge durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder (2+3 = 5, 3+5 = 8, 5+8 = 13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Folge sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: „et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“ Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt.

Eine 2014 erschienene, mathematisch-historische Analyse zum Leben des Leonardo von Pisa, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt Bejaia (im heutigen Algerien), kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist (was schon länger vermutet wurde), sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist.[32]

Nachdem spätere Mathematiker wie Gabriel Lamé (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten Édouard Lucas (1842–1891)[33] und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Leonardo da Pisa stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig.

Mathematische Modellierung des Wachstums von Fibonaccis Kaninchen-Population

Sei die Anzahl der geschlechtsreifen bzw. die Anzahl der nicht geschlechtsreifen Kaninchen der -ten Generation, entsprechend für die Generationen und . Nach den oben angegebenen Regeln ist mit diesen Bezeichnungen:

  (1)
  (1’)
(2)

Einsetzen von (1’) in (1) und anschließende Addition von (2) ergibt

,

für die Gesamtzahl ,  ,   von Kaninchen der jeweiligen Generation also

,

was dem angegebenen rekursiven Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge äquivalent ist.

Mit beschreibt dieses Modell die in der Zeichnung angegebenene Generationenfolge.

Neuzeit

Die Zahlentheoretiker Édouard Lucas und J. Wasteels (1865–1909) zeigten Jahrhunderte später, dass aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen der Gleichung

genügen und damit deren Bedeutung für die Zahlentheorie.

Bei der Fibonacci-Hyperbel

sind

sowie bei der (nach geeigneter Transformation daraus erhaltenen) Gleichung

sind

die (einzigen) ganzzahligen Lösungen im 1. Quadranten.[34]

Rezeption in Kunst und Unterhaltung

  • In der Unterhaltungsmathematik basieren das Schachbrett-Paradoxon und ähnliche geometrische Trugschlüsse auf den Eigenschaften der Fibonacci-Folge.
  • Das Systemgedicht alfabet (1981) der dänischen Schriftstellerin Inger Christensen basiert auf der Fibonacci-Folge.
  • Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band The Organ, Grab That Gun, wurde von David Cuesta mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen.
  • Die Künstler Mario Merz und Petra Paffenholz setzten sich in ihren Installationen mit der Fibonacci-Folge[35] auseinander und kreierten unter anderem das Kunstwerk „Ziffern im Wald“ auf dem Mönchsberg in Salzburg.
  • Der Gesang im Lied Lateralus der Progressive-Metal-Band Tool basiert auf Fibonacci-Zahlen.[36]
  • Die Künstlerin Martina Schettina beschäftigt sich in ihren mathematischen Bildern ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen.[37][38]
  • Dan Brown verwendet in seinem Thriller The Da Vinci Code (2003) (deutsch: Sakrileg, 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft.
  • Im Film π – System im Chaos von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt“ in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt.
  • In der Serie Criminal Minds (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge.
  • In Lars von Triers Film Nymphomaniac wird im Kapitel 5 – kleine Orgelschule – die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht.
  • In dem Videospiel Watch Dogs von Ubisoft, in der Serienkiller-Mission als Zahlen, die an den einzelnen Tatorten der Opfer aufzufinden sind.[39]
  • In dem Song What’s Goes? von Die Orsons rappt KAAS die Fibonacci-Folge bis zur Zahl 144.[40]
  • Am Kernkraftwerk Leibstadt (CH) ist die Süd-Front des Maschinenhauses mit einer nach rechts progressiv ansteigenden Kurve aus sechs orangen Rechteckelementen bemalt, deren einzelne (aber auch addierte) Höhen der Fibonacci-Folge entsprechen.
  • In dem Videospiel Dishonored: Death of the Outsider wird die Fibonacci-Folge als Kombination für einen Banktresor verwendet.
  • In dem Manga Jojo’s Bizzare Adventure: Steel Ball Run wird die Fibonacci-Darstellung als Darstellung der Kraft des Protagonisten verwendet.
  • In dem Kinderbuch Britta Tausendfuß von Irmela Wendt lernt das Mädchen Britta nach und nach zählen. Zuerst kann sie nur bis 5 zählen. Zum achten Geburtstag ihres Bruders schenkt sie ihm 8 Pferdchen aus Rübenschnitzeln. Als ihr Vater für den Bauernhof einen Traktor mit 13 PS anschafft, zählt sie 13 Gründe auf, warum das Familienpferd trotzdem 13 Mal besser ist. Der Buchtitel kommt daher, dass Britta für Zahlen, die ihr Verständnis übersteigen, einfach tausend sagt.

Fibonacci-Datenstrukturen

Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.

Verwandte der Fibonacci-Folge

Die Prinzipien der Fibonacci-Folge können auch auf ähnliche Zahlenfolgen angewendet werden. So besteht die Tribonacci-Folge gleichfalls aus aufeinanderaddierten Zahlen. Hierbei werden aber jeweils die drei vorangegangenen Zahlen addiert, um die jeweils nächste zu bilden.

  für  

Die ersten Glieder lauten:

0, 1, 1, 2, 4, 7, …

Die Tribonaccizahlen tauchen bei einigen geometrischen Figuren auf.

Genau so, wie die Fibonaccizahlen aus 2 und die Tribonaccizahlen aus 3 Gliedern errechenbar sind, lassen sich die n-Bonaccizahlen (so auch Tetra- und Pentanaccizahlen) aus Gliedern bilden.[24]

Die Stern-Brocot-Folge hat ein ähnliches Bildungsgesetz und weist ähnlich vielfältige mathematische Besonderheiten auf wie die Fibonacci-Folge.

Anmerkungen

  1. Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.
  2. Tatsächlich sind die Terme mit gleichem Laufindex in den Summen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich.
  3. Dazu muss festgestellt werden, dass dies ein theoretisches Gedankenmodell ist, das sich in der Praxis nicht so abbildet. Der Grund liegt in den individuellen Genen der Kaninchenmütter und der sich verändernden Geburtenrate. Es gibt Mütter, die über die Zeit zunehmend mehr Nachkommen haben, wenn sie mehr gebären konnten, während andere weniger Nachkommen haben, nachdem sie einen großen Wurf hatten. Zudem passen Kaninchen wie auch Mäuse ihre Wurfgröße genetisch festgelegt an das Nahrungsangebot an, indem sie Gene an und abschalten, welche die Fertilität steuern und Keimverzögerung sowie Befruchtungswillen beeinflussen.

Einzelnachweise

  1. Folge A000045 in OEIS
  2. Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12, Nr. 3, 1985, S. 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
  3. a b Ruben Stelzner (in Zusammenarbeit mit Wolfgang Schad): Der Goldene Schnitt. Das Mysterium der Schönheit. In: golden-section.eu. Abgerufen am 26. Oktober 2015.
  4. Donald E. Knuth: Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane. Annual meeting. Hrsg.: The Mathematical Association of America. The Fairmont Hotel, San Jose, CA. 11. Dezember 2008 (Abstract (Memento vom 3. November 2011 im Internet Archive)).
  5. Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB).
  6. Yvonne Stry, Rainer Schwenkert: Kapitel 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Abschnitt 6 Anwendungen, Eine sonderbare Ziffern-Verteilung und die Steuerrevision, Unterabschnitt 11.6.1, in: Mathematik kompakt für Ingenieure und Informatiker, Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-32312-9.
  7. Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 3-7643-6135-2, S. 59 (Online-Version).
  8. H. Williams: A Note on the Fibonacci Quotient Fp−ε/p. Canadian Mathematical Bulletin, 25(3), 366–370, 1982, doi:10.4153/CMB-1982-053-0.
  9. Die Gleichung muss Landau (1899) bekannt gewesen sein, s. Borwein, Page 95, Exercise 3b.
    Wegen ergibt eine Multiplikation mit allen Nennern die Gleichung
    die leicht verifiziert ist.
  10. Eric W. Weisstein: Zeckendorf Representation. In: MathWorld (englisch).
  11. In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: Wege zur Analysis: Genetisch – Geometrisch – Konstruktiv. Gabler, 2001, ISBN 3-540-42032-0, S. 12 (Auszug (Google))). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war, findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber. Gabler, 2010, ISBN 978-3-8274-2349-8, S. 46 (Auszug (Google))) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 611 (Auszug (Google))).
  12. Gleichung (2.12) in: Fibonacci numbers and matrices. 15. Juni 2009, Robert C. Johnson, Department of Mathematical Sciences, Durham University, UK.
  13. a b c Eric W. Weisstein: Reciprocal Fibonacci Constant. In: MathWorld (englisch).
  14. Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 95, Exercise 3b.
  15. Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 94, Exercise 3.
  16. Number-theoretical, combinatorial and integer functions – mpmath 1.1.0 documentation. Abgerufen am 18. Juli 2021.
  17. Als Dezimalbruch: Folge A079586 in OEIS
  18. Als Kettenbruch: Folge A079587 in OEIS
  19. Richard André-Jeannin: Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes (= Comptes rendus de l’Académie des sciences, Série I. Band 308, Nr. 19). 1989, S. 539–541 (französisch).
  20. Ribenboim S. 59–62.
  21. Borwein, Page 97, Equation (3.7.12).
  22. Ribenboim S. 323.
  23. Folge A000073 in OEIS, Folge A000078 in OEIS
  24. a b Tony Noe, Tito Piezas III, Eric Weisstein: Fibonacci n-Step Number. In: MathWorld (englisch).
  25. Folge A001608 in OEIS, Folge A000931 in OEIS
  26. G. Hegi: Illustrierte Flora von Mitteleuropa. Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena, ISBN 3-936055-23-8.
  27. Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapur 1999, ISBN 981-02-3264-0, S. 130–134.
  28. S. Schuster, M. Fichtner, S. Sasso: Use of Fibonacci numbers in lipidomics – Enumerating various classes of fatty acids. In: Sci. Rep. 7 (2017) 39821
  29. Parmanand Singh: Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. In: Mathematics Education. 20,1 (Siwan, 1986), ISSN 0047-6269, S. 28–30.
  30. Friedrich Gustav Lang: Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur. (Memento vom 16. November 2018 im Internet Archive). In: Novum Testamentum. Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86 auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.
  31. Baldassare Boncompagni (Hrsg.): Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche. Rom 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“).
  32. T. C. Scott, P. Marketos: On the Origin of the Fibonacci Sequence. Hrsg.: MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. 23. März 2014 (englisch, online bei mcs.st-andrews.ac.uk [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 25. September 2018]).
  33. Edouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10. (1877), S. 129–193, S. 239–293.
  34. Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. S. 210 ff.
  35. „Ziffern im Wald“ von Mario Merz. In: salzburg.info. Tourismus Salzburg GmbH, abgerufen am 4. September 2021.
  36. Graham Hartmann: „No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs.“ Bei: loudwire.com. Aufgerufen am 22. Februar 2014.
  37. Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“. Jg. 55, Heft 2, April 2009. Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer, TU Dresden, ISSN 0025-5807.
  38. Ingmar Lehmann: Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur. Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).
  39. Missing Persons. Bei: watchdogs.wikia.com.
  40. Die Orsons – What’s Goes? Bei: YouTube.com.

Literatur

  • Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 978-1-118-03131-5.
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, 1998, ISBN 978-0-471-31515-5, S. 91–101 (englisch, wiley.com).
  • John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
  • Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
  • Huberta Lausch: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
  • Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
  • Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde. Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8.
  • The Fibonacci Quarterly. Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.

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