Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion ${\displaystyle f}$, das heißt ${\displaystyle f\in C_{2\pi }}$, das ${\displaystyle n}$-te Fejér-Polynom ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ definiert durch

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right){\hat {f}}(k)\,\mathrm {e} ^{ikx},}$

wobei

${\displaystyle {\hat {f}}(k):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,\mathrm {e} ^{-ikt}\mathrm {d} t}$

der ${\displaystyle k}$-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen – Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}S_{k}(f)(x),}$

wobei

${\displaystyle S_{k}(f)(x):=\sum _{j=-k}^{k}{\hat {f}}(j)\,\mathrm {e} ^{ijx}}$

die ${\displaystyle k}$-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede ${\displaystyle 2\pi }$-periodische, stetige Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert die Folge der Fejér-Polynome ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ gleichmäßig gegen ${\displaystyle f}$, d. h.

${\displaystyle f\in C_{2\pi }\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }\|\sigma _{n}(f)-f\|_{C_{2\pi }}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(\max \limits _{x\in [-\pi ,\pi ]}|\sigma _{n}(f)(x)-f(x)|\right)=0.}$

Fejér-Kern

Der n-te Fejér-Kern ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ ist definiert durch

${\displaystyle \sigma _{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}\left(1-{\frac {\left|k\right|}{n+1}}\right)\mathrm {e} ^{ikx}}$.

Faltung

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

${\displaystyle \sigma _{n}(f)(x)=(\sigma _{n}*f)(x):={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sigma _{n}(x-t)\mathrm {d} t}$

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)}$

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

${\displaystyle D_{n}(x):=\sum _{k=-n}^{n}\mathrm {e} ^{ikx}}$

Positiver reeller Kern

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

${\displaystyle D_{k}(x)=1+2\sum _{j=1}^{k}\cos(jx)={\frac {\sin \left({\frac {2k+1}{2}}x\right)}{\sin(x/2)}}}$

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin \left({\frac {2k+1}{2}}x\right)={\frac {\sin ^{2}\left({\frac {n+1}{2}}x\right)}{\sin \left(x/2\right)}}}$

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}\left({\frac {\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right)}{\sin({\frac {x}{2}})}}\right)^{2}&,x\neq 2j\pi \\n+1&,x=2j\pi \end{cases}},j\in \mathbb {Z} }$

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen ${\displaystyle \sin }$ und ${\displaystyle \cos }$ die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen ${\displaystyle f\in C_{2\pi }}$ folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen

Für Hölder-stetige Funktionen ${\displaystyle f}$ lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört ${\displaystyle f}$ für ein ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$ zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen ${\displaystyle C^{\alpha }}$, d. h.

${\displaystyle \|f(\cdot +h)-f(\cdot )\|_{C_{2\pi }}={\mathcal {O}}(|h|^{\alpha }),h\to 0,}$

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

${\displaystyle \|\sigma _{n}(f)-f\|_{C_{2\pi }}={\begin{cases}{\mathcal {O}}(|{\frac {1}{n}}|^{\alpha })&,0<\alpha <1\\{\mathcal {O}}\left({\frac {\log(n)}{n}}\right)&,\alpha =1\end{cases}},n\to \infty }$

Literatur

• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.
• Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
• Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
• P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
• N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.