Fast-konvexe Funktion

Die fast konvexen Funktionen (englisch convex-like functions) bilden eine Verallgemeinerung der konvexen Funktionen und werden in der mathematischen Optimierung verwendet, da für sie einfache Regularitätsvoraussetzungen wie die Slater-Bedingung gelten, unter denen starke Dualität gilt und damit auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelten.

Definition

Seien ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ reelle Vektorräume und ${\displaystyle K\,}$ ein Ordnungskegel auf ${\displaystyle V_{2}}$ sowie ${\displaystyle D_{1}}$ eine nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle V_{1}}$. Dann heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon D_{1}\mapsto V_{2}}$ fast konvex, wenn die Menge

${\displaystyle M:=f(D_{1})+K}$

konvex ist. Die Menge ${\displaystyle M}$ lässt sich äquivalent beschreiben als

${\displaystyle M=\{y\in V_{2}\,|\,\exists x\in D_{1}{\text{ so dass }}f(x)-y\in -K\}}$

Ist der Kegel ein echter Kegel und definiert damit eine verallgemeinerte Ungleichung ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}$, so lautet diese Menge

${\displaystyle M=\{y\in V_{2}\,|\,\exists x\in D_{1}{\text{ so dass }}f(x)\preccurlyeq _{K}y\}}$

Beispiele

Betrachtet man die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ und den echten Kegel ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x\geq 0\}}$ sowie ${\displaystyle D_{1}=[0,2\pi ]}$, so ist ${\displaystyle \sin(D_{1})=[-1,1]}$. Damit ist ${\displaystyle M=[-1;1]+\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x\geq -1\}}$. Diese Menge ist konvex und damit ist die Sinusfunktion fast konvex.

Betrachtet man die Funktion ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\text{ falls }}x\leq 0\\1&{\text{ falls }}x>0\end{cases}}}$

und definiert ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{2}}$ durch

${\displaystyle g(x)={\begin{pmatrix}f(x)\\5x\end{pmatrix}}}$

auf ${\displaystyle D_{0}=\mathbb {R} }$ mit dem Ordnungskegel ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}\times \{0\}}$. Für ${\displaystyle x\in D_{1}=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x\leq 0\}}$ ist jeder Punkt der Bildmenge von der Form ${\displaystyle (-1,5x)}$ und damit ist ${\displaystyle g(D_{1})=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y_{1}=-1,y_{2}\leq 0\}}$. Analog folgt mit ${\displaystyle D_{2}=\{x\in \mathbb {R} \,|\,x>0\}}$, dass ${\displaystyle g(D_{2})=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y_{1}=1,y_{2}>0\}}$. Somit ist

${\displaystyle {\begin{aligned}g(D_{1})+K=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y_{1}\geq -1,y_{2}\leq 0\}\\g(D_{2})+K=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,y_{1}\geq 1,y_{2}>0\}\end{aligned}}}$

Da aber ${\displaystyle D_{0}=D_{1}\cup D_{2}}$ ist, kann die Menge ${\displaystyle g(D_{0})+K=g(D_{1}\cup D_{2})+K=\left(g(D_{1})+K\right)\cup \left(g(D_{2})+K\right)}$ nicht konvex sein, da zum Beispiel die Punkte ${\displaystyle (-1,0)^{T}}$ und ${\displaystyle (1,1)^{T}}$ in ${\displaystyle g(D_{0})+K}$ enthalten sind, aber keiner der Punkte auf der Strecke zwischen ihnen. Zum Beispiel ist ${\displaystyle (0,0{,}5)}$ der Mittelpunkt dieser Strecke, aber nicht in ${\displaystyle g(D_{0})+K}$ enthalten.

Eigenschaften

Jede konvexe Funktion ist fast konvex bezüglich des natürlichen Kegels ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}}$. Dies folgt direkt aus der Konvexität des Epigraphs. Genauso ist auch jede K-konvexe Funktion fast konvex bezüglich ihres Kegels.

Verwendung

Die fast konvexen Funktionen sind eine Funktionenklasse, die so definiert ist, dass wenn sie die Slater-Bedingung erfüllt, die starke Dualität gilt. Sei also ein Optimierungsproblem der Form

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Minimiere }}&f(x)\\{\text{unter den Nebenbedingungen }}&g(x)\in -K\\&x\in R\end{aligned}}}$

gegeben für einen Ordnungskegel ${\displaystyle K\,}$ mit nichtleerem Inneren und Abbildungen ${\displaystyle f\colon V\mapsto \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle g\colon V\mapsto Y}$. Dabei sind ${\displaystyle V,Y}$ normierte reelle Vektorräume und die Funktion ${\displaystyle K\colon V\mapsto \mathbb {R} \times Y}$ definiert durch ${\displaystyle K(x)=(f(x),g(x))}$ ist fast konvex bezüglich des Kegels ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times K}$. Weiter sei ${\displaystyle R}$ eine beliebige nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle V}$.

Das Problem erfüllt nun die Slater-Bedingung, wenn es einen zulässigen Punkt ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ gibt. Das heißt ${\displaystyle {\tilde {x}}\in R,\,g({\tilde {x}})\in -K}$, so dass ${\displaystyle g({\tilde {x}})\in \operatorname {int} (-K)}$ ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {int} (M)}$ das Innere einer Menge.

Erfüllt solch ein Problem mit fast konvexen Funktionen nun die Slater-Bedingung, so gilt starke Dualität und damit zum Beispiel auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. Der Begriff der fast konvexen Funktion erweitert also die Dualitätstheorie der konvexen Funktionen auf Probleme, die nicht notwendigerweise konvex sein müssen. Dies hat den Vorteil, dass die Slater-Bedingung im Gegensatz zu vielen anderen Regularitätsbedingungen oder „constraint qualifications“ die Regularität des gesamten Problemes liefert, und nicht nur die Regularität in einem Punkt.

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.