Farey-Folge

Eine Farey-Folge (mathematisch unkorrekt auch Farey-Reihe oder einfach Farey-Brüche) ist in der Zahlentheorie eine geordnete Menge der vollständig gekürzten Brüche zwischen 0 und 1, deren jeweiliger Nenner den Index N nicht übersteigt. Benannt sind die Farey-Folgen nach dem britischen Geologen John Farey Sr., der diese Anordnung der Brüche 1816 vorschlug.^[1] Augustin Louis Cauchy griff das auf und benannte die Folgen nach Farey. Tatsächlich hatte aber ein Franzose namens Haros einige grundlegende Eigenschaften dieser Folge schon 1802 veröffentlicht, wovon aber erst später Notiz genommen wurde.^[2]

Formale Definition

Eine Farey-Folge N-ter Ordnung ${\displaystyle F_{N}}$ ist eine geordnete Menge von Brüchen ${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$ mit ${\displaystyle p_{i}\leq q_{i}\leq N}$, ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle \operatorname {ggT} (p_{i},q_{i})=1}$ mit ${\displaystyle I}$ Indexmenge und ${\displaystyle p_{i},q_{i},N\in \mathbb {N} }$, so dass

${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}<{\frac {p_{j}}{q_{j}}}}$ für alle ${\displaystyle i<j}$ gilt.

Beispiele

${\displaystyle F_{1}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$

${\displaystyle F_{2}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$

${\displaystyle F_{3}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$

${\displaystyle F_{4}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$

${\displaystyle F_{5}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$

${\displaystyle F_{6}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{1}}\right)}$.

Die ersten 8 Folgen in einer strukturierten Darstellung:

F1 = {0   ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·   1}
F2 = {0   ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·   1/2   ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·    ·   1}
F3 = {0   ·    ·    ·    ·    ·    ·   1/3   ·    ·    ·   1/2   ·    ·    ·   2/3   ·    ·    ·    ·    ·    ·   1}
F4 = {0   ·    ·    ·    ·   1/4   ·   1/3   ·    ·    ·   1/2   ·    ·    ·   2/3   ·   3/4   ·    ·    ·    ·   1}
F5 = {0   ·    ·    ·   1/5  1/4   ·   1/3   ·   2/5   ·   1/2   ·   3/5   ·   2/3   ·   3/4  4/5   ·    ·    ·   1}
F6 = {0   ·    ·   1/6  1/5  1/4   ·   1/3   ·   2/5   ·   1/2   ·   3/5   ·   2/3   ·   3/4  4/5  5/6   ·    ·   1}
F7 = {0   ·   1/7  1/6  1/5  1/4  2/7  1/3   ·   2/5  3/7  1/2  4/7  3/5   ·   2/3  5/7  3/4  4/5  5/6  6/7   ·   1}
F8 = {0  1/8  1/7  1/6  1/5  1/4  2/7  1/3  3/8  2/5  3/7  1/2  4/7  3/5  5/8  2/3  5/7  3/4  4/5  5/6  6/7  7/8  1}

Konstruktion

Für gegebenes n>2 erhält man den Bruch ${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$ der Folge ${\displaystyle F_{N}}$ aus den letzten beiden Brüchen derselben Folge:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p_{1}&=&0\\q_{1}&=&1\\p_{2}&=&1\\q_{2}&=&n\\p_{i}&=&\lfloor {\frac {q_{i-2}+n}{q_{i-1}}}\rfloor p_{i-1}-p_{i-2}\\q_{i}&=&\lfloor {\frac {q_{i-2}+n}{q_{i-1}}}\rfloor q_{i-1}-q_{i-2}\\\end{array}}}$

Dabei bedeuten die unten eckigen Klammern ein Abrunden. Mit Integer-Arithmetik wird bei Division implizit abgerundet, so dass man beispielsweise in Java die Berechnung ohne explizites Abrunden programmieren kann:

public class FareySequence {
	@FunctionalInterface
	public static interface BiIntConsumer {
		void accept(int p, int q);
	}
	public static void forEach(int n, BiIntConsumer consumer) {
		int p__ = 0; // p_{i-2} = p_1
		int q__ = 1; // q_{i-2} = q_1
		int p_ = 1; // p_{i-1} = p_2
		int q_ = n; // q_{i-1} = q_2
		consumer.accept(p__, q__);
		consumer.accept(p_, q_);
		while ((q_ != 1)) {
			int p = ((q__ + n) / q_) * p_ - p__; 
			int q = ((q__ + n) / q_) * q_ - q__;
			p__ = p_;
			p_ = p;
			q__ = q_;
			q_ = q;
			consumer.accept(p, q);
		}
	}

	// Beispiel Verwendung:
	public static void main(String[] args) {
		FareySequence.forEach(8,(p, q) -> System.out.print(p + "/" + q+", "));
		// Ausgabe: 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1, 
	}
}

Eigenschaften

Die Mächtigkeit einer Farey-Folge zum Index N ist gleich der Mächtigkeit der Vorgängerfolge zum Index N-1 addiert mit dem Wert der Eulerschen φ-Funktion für N:

${\displaystyle |F_{N}|=|F_{N-1}|+\varphi (N)}$.

Bei zwei aufeinander folgenden Brüchen ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ einer Farey-Folge ergeben die Produkte a·d und b·c zwei aufeinander folgende Zahlen. Man kann auch schreiben:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc=-1}$.

Sind umgekehrt ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ zwei Brüche mit ${\displaystyle 0\leq {\tfrac {a}{b}}<{\tfrac {c}{d}}\leq 1}$ und ${\displaystyle ad-bc=-1}$, so handelt es sich um Nachbarn bis zur Farey-Folge ${\displaystyle F_{b+d-1}}$, mit anderen Worten: Jeder dazwischen liegende Bruch ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ hat einen Nenner ${\displaystyle q\geq b+d}$. In der Tat müssen nämlich die Zähler der positiven Brüche ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {a}{b}}={\tfrac {bp-aq}{qb}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}-{\tfrac {p}{q}}={\tfrac {cq-dp}{dq}}}$ positive ganze Zahlen sein, also ${\displaystyle bp-aq\geq 1}$ und ${\displaystyle cq-dp\geq 1}$.

Hieraus folgt

${\displaystyle q=(bc-ad)\cdot q=b\cdot (cq-dp)+d\cdot (bp-aq)\geq b+d}$.

Ebenso folgt

${\displaystyle p=(bc-ad)\cdot p=c\cdot (bp-aq)+a\cdot (cq-dp)\geq c+a}$.

Beide Ungleichungen werden scharf genau für die Farey-Summe ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}={\tfrac {a+c}{b+d}}}$.

Farey-Folgen und Riemannvermutung

Jérôme Franel bewies 1924 (ergänzt durch Edmund Landau), dass die Riemannvermutung zu einer Aussage über Farey-Reihen äquivalent ist.

Seien ${\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}$ die Elemente der n-ten Farey-Folge ${\displaystyle F_{n}}$ und sei ${\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}}$ der Abstand zwischen dem k-ten Term der n-ten Fareyfolge und dem k-ten Term der äquidistanten Punktreihe im Einheitsintervall mit derselben Anzahl von Termen wie die n-te Fareyfolge. Franel bewies dann die Äquivalenz der Riemannhypothese zu (verwendet werden die Landau-Symbole):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}={\mathcal {O}}(n^{r})\quad \forall r>-1}$

und Landau bemerkte, dass die Riemannhypothese dann auch zu

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|={\mathcal {O}}(n^{r})\quad \forall r>1/2}$

äquivalent ist.

Siehe auch

• Farey-Graph
• Stern-Brocot-Baum
• Ford-Kreise

Literatur

• Leonard Eugene Dickson: Farey Series. In: History of the Theory of Numbers, Band 1 (Divisibility and Primality). Carnegie Institution, Washington 1919, S. 155–158.
• John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus Books, New York 1996, ISBN 0-387-97993-X.
• Jeffrey Lagarias, Charles Tresser: A walk along the branches of the extended Farey tree. In: IBM Journal of Research and Development, 39, 1995, Nr. 3, S. 283–294.
• Harald Scheid, Andreas Frommer: Zahlentheorie. 4. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg; [u. a.] 2006, ISBN 978-3-8274-1692-6.

Weblinks

• Bibliografie mit Beziehung zur riemannschen Vermutung
• Farey Series auf cut-the-knot
• Horst Hischer: 4000 Jahre Mittelwertbildung (PDF; 4,23 MB)
• Farey-Reihen in der Encyclopedia of Mathematics (Springer)
• Eric W. Weisstein: Farey Sequence. In: MathWorld (englisch).
• Skript zu Fibonacci-Zahlen, Kettenbrüchen und Farey-Folgen (PDF; 1,22 MB)

Einzelnachweise

1. ↑ John Farey: On a curious Property of vulgar Fractions. In: The Philosophical Magazine and Journal, 47, 1816, S. 385–386, Nr. LXXIX. Vgl. S. A.: On Vulgar Fractions. In: The Philosophical Magazine and Journal, 48, 1816, S. 204, Nr. XLIII.
2. ↑ C.[itoy]en [= Bürger] Haros: Tables pour évaluer une fraction ordinaire avec autant de décimales qu'on voudra; et pour trouver la fraction ordinaire la plus simple, et qui approche sensiblement d’une fraction décimale. In: Journal de l’école polytechnique, 4, 1802, Nr. 11, S. 364–368.