Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei ${\displaystyle (A,\leq )}$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

${\displaystyle f\colon \,A\to A}$

heißt extensiv, falls gilt:

${\displaystyle a\leq f(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

${\displaystyle f(a)\leq a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$.

Beispiele

1. Auf ${\displaystyle (A,\leq )}$ ist die Identität ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a}$ extensiv und intensiv, da ${\displaystyle a\leq a}$ immer gilt.
2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ bereits dann einen Fixpunkt, falls ${\displaystyle A}$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

• Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8. 
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.