Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit ${\displaystyle \mathrm {B} }$ bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t,}$

wobei ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem ${\displaystyle x}$ (bzw. ${\displaystyle y}$) ist ${\displaystyle \mathrm {B} }$ eine meromorphe Funktion von ${\displaystyle y}$ (bzw. ${\displaystyle x}$), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$.

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit ${\displaystyle \mathrm {Re} \,x>0}$ und ${\displaystyle \mathrm {Re} \,y>0}$ (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution ${\displaystyle u={\tfrac {t}{1-t}}}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&{}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}}\,\mathrm {d} t\\&{}=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2y-1}(t)\cos ^{2x-1}(t)\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang ${\displaystyle x=k}$ und ${\displaystyle y=k}$ für ganze Zahlen ${\displaystyle k\leq 0}$ hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ für alle rationalen, nicht ganzzahligen ${\displaystyle x,y}$ transzendent ist.^[1]

Beziehung zur Gammafunktion

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.^[2]

Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}}$

nun kann man die Variablen ${\displaystyle u=zt}$ und ${\displaystyle v=z(1-t)}$ substituieren und erhält damit

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Teilt man nun beide Seiten durch ${\displaystyle \Gamma (x+y)}$, erhält man das Resultat.

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}$

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ auf:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}}$.

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

wobei ${\displaystyle \psi (x)}$ die Digamma-Funktion ist.

Werte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)}$

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}$

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Beta Function, Regularized Beta Function, Incomplete Beta Function in MathWorld (englisch)
• Beta function. Evaluation bei functions.wolfram.com (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1])
2. ↑ Emil Artin: The Gamma Function. S. 18–19 (plouffe.fr (Memento des Originals vom 12. November 2016 im Internet Archive) [abgerufen am 11. November 2016]).