Epigraph (Mathematik)
In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.
Ist der Bildraum der Funktion der versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung , so ist der Epigraph definiert als
- .
Eigenschaften
Sei ein normierter -Vektorraum. Für Funktionen gilt:
- ist genau dann konvex, wenn der Epigraph von eine konvexe Menge bildet.
- ist genau dann halbstetig von unten, wenn der Epigraph von eine abgeschlossene Menge bildet.
- ist genau dann schwach unterhalbstetig, wenn der Epigraph von eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist.
- Ist eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in .
Ist der Bildraum der Funktion der , so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.
Siehe auch
Literatur
- Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
- Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4